Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 73

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 202 >> Следующая

выбора координатной системы.
§§ 200-226. СИСТЕМЫ С РАДИАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ 187
В настоящем случае этот факт имеет простой кинематический смысл.
Действительно, если положить
х - г cos ф, у = г sin ф,
х = г cos ф, у = г sin ф,
то функции (9j) и (9г) представятся в виде
L = " (z/2 + У'2) + (ху' - ух') + U, (100
L = ±{^ + y'>)+U, (life)
где
С/-С7 = 1л (Юз)
Переход от (х, у) к (х, у) соответствует введению системы прямоугольных
координат (х, у), имеющей общее начало с системой (х, у) и вращающейся с
постоянной угловой скоростью, так как Ф = ф - t. Тот факт, что функция
(102) обратимого и (10t) необратимого типа, обусловлен кориолисовыми
силами, появляющимися вследствие вращения системы (х,_у). Наконец
различие в выражениях для силовых функций U и U обусловлено появлением
центробежных сил.
§ 211. Рассмотрим движение материальной точки на евклидовой плоскости {х,
у) под действием силы, направленной к началу координат (х, у) =
(0,0) или от него и имеющей величину
±F = l-Fl, зависящую лишь от расстояния г = (х2 -f у2)',г,
при-
чем F(r) берется отрицательной, положительной или равной нулю
соответственно тому, будет ли сила на расстоянии г притягивающей,
отталкивающей или равной нулю. Уравнения движения запишутся в виде
x" = ±F(r)X-, y" = ±F(r)Л
г г.
или же в виде (6), где п = 2 и U(r) равно неопределенному интегралу от
±F(r). Таким образом, U = ?7(Уа^+ у2), и мы имеем
я" = Ux, у" = Uv, (llt)
*-(*'*+ /*)-?/ = а, (НО
ху' - ух' - с, (Из)
причем (Ил) и (Из) -интегралы уравнений (Hi).
188
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Вводя полярные координаты, запишем функцию Лагранжа и эти интегралы в
виде
? = -^(r'2 + 'V2)+tf(r), (12t)
-~{* + W)-U{r) = ht (12.)
/V = с. (12s)
Из (12i) видно, что угол <р является циклической координатой и что
импульс Ziq>", канонически сопряженный с этой угловой координатой, равен
г2 ф'. Поэтому интеграл (12з), т. е. (11з), выражает факт постоянства
момента количества движения, а интеграл (12i), т. е. (Нг), выражает закон
сохранения энергии.
§ 212. Исключим тривиальный случай равновесного решения, а также
изолированные значения t, соответствующие точкам возврата. Тогда
изложенное в § 179 показывает, что решения уравнений (lli),
соответствующие постоянной энергии А, можно рассматривать как
геодезические линии на поверхности Sa, на которой квадрат элемента дуги
равен
ds2 = g (xl -f- у2),
где g есть 2 (U -f- h), т. e. является функцией гауссовых параметров х,
у. Следовательно, g = g(r), и поверхность Sл является при фиксированной h
поверхностью вращения, рассмотренной в § 206. Так как U = U (г) , где г2
= х2 -j- у2, то гауссова кривизна Kh = = Kh(x, у) на Sa равна (см. (19) §
231)
UT'
rj,'~(u+h)(u"+-r'A
*-ЛМ-7----------------------------- . (13)
Б частности, метрика на поверхности Sa становится неевклидовой, если h -
0 и
U = 2(4. - г2) ~2, (14)
поскольку тогда Kh(r) = - 1 в силу (13).
§ 213. Поскольку для каждого решения уравнений (lit) найдутся постоянные
h, с, удовлетворяющие соотношениям (11г), (11з), можно ожидать, что два
дифференциальных соотношения (lli), налагаемых на функции x = x(t), у =
y(t) класса С(r), эквивалентны двум соотношениям (Нг), (Из), в которых
постоянные
§§ 208-226. СИСТЕМЫ С РАДИАЛЬНОЙ СИММЕТРИЕЙ
189
Л и с произвольны. Фактически соотношения (11г), (Из), являющиеся
необходимыми для функций x(t), y(t), удовлетворяющих (lli), оказываются и
достаточными, если исключить случай круговых решений. Но для последних,
т. е. когда x*(t) -f- y2(t) = = const, из (H2) и (11з) не вытекает (lli).
Действительно, дифференцируя (11г), (Из), получим формулы
так что, поскольку U = U(yi? + у2) и, следовательно, yUx - - xUy = 0,
соотношения (11г) - (Из) эквивалентны следующим:
Последние соотношения представляют собой линейную комбинацию уравнений
(lli) с определителем, равным
Таким образом, (15) и (lit), т. е. (112) - (Из) и (lli) эквивалентны друг
другу всегда, если x2(t) у2(t) ф const.
§ 214. В соответствии с (12i) и § 184 мы можем заменить (lli) при
фиксированном значении постоянной с интеграла (Из) уравнением [Z*]r = 0,
где
Из (12г), (12з), (I62) видно, что соотношение (16з) представляет собой не
только интеграл энергии уравнения
соответствующего системе с одной степенью свободы, но также и интеграл
энергии системы (lli) с двумя степенями свободы. Если решение r = r(f)
уравнения (16*) известно, то функция ф = <р(г) найдется из (12э) с
помощью квадратуры.
х'х" + У'у" - Uxx' - Uyy' = 0,
ху" - Ух" = о,
(15)
V = i/*+?7\
1 е2
tf*(rjC)=?/(r)---
(16i)
(I62)
и
- г'2 - U* = h.
(16з)
2
[?*]г = г" - UT* = 0,
("О
190
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Из (123) также видно, что движение М на плоскости (х, у) является при
любом t прямым, если с > 0, и обратным, если с < 0. При замене t на -t
обратное движение становится прямым, Из (Из) далее видно, что с = 0 для
таких и только таких траекторий, которые представляют собой прямую линию,
проходящую через начало координат.
Предыдущая << 1 .. 67 68 69 70 71 72 < 73 > 74 75 76 77 78 79 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed