Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 83

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 202 >> Следующая

решения обращается в нуль при некотором t, например при 1 = 0 (но не
тождественно при всех t). Тогда интегральная кривая имеет при t = О точку
возврата. Если обозначить через х°, у0 начальные значения z(0), у{0)
функций х(t), y(t), то из изложенного в § 168 видно, что точка (я0, у0)
плоскости (х, у) лежит на кривой
U(x,y)=-h (465)
нулевой скорости. Кроме того, из результатов в § 166 следует, что эта
кривая имеет в точке (я0, у0) определенную нормаль, а в § 170
показывается, что любая интегральная кривая "отражается" от кривой
нулевой скорости в трансверсальном направлении. В данном случае
трансверсальное направление к кривой (465) совпадает с направлением
нормали, так как коэффициенты g l выражении (32з) для функции L
соответствуют евклидову пространству. Поэтому интегральная кривая (31i)
при t-"-±0 касается нормали к кривой (465) в точке (х°, у0) и
располагается при малых t ^ 0 по одну сторону от этой кривой.
Пусть положительное направление нормали к кривой (465) в точке (х°, у0)
совпадает с касательной к интегральной кривой в этой точке (т. е. в точке
возврата), проведенной в ту же сторону от кривой (46б), где располагается
интегральная кривая. Такая касательная в точке возврата будет называться
также положительной.
Предположим, что со(х,у) = 1, так что уравнения (32i) запишутся в виде
z" = 2 у' + Ux, у" =-2х'+ U у. (47)
Покажем, что если наблюдатель движется вдоль интегральной кривой (31)) в
направлении, соответствующем возрастанию t, то при прохождении точки
возврата положительная касательная в этой точке будет оставаться для него
всегда с левой стороны. Отсюда, в частности, вытекает, что положительная
касательная является внутренней касательной в точке возврата.
Так как уравнения (47) остаются без изменений как при постоянном
вращении, так и при переносе системы координат (х, у),
§§ 227-240. СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
215
то можно предположить, что точка (х°, у0) совпадает с началом координат
(0,0) и что положительная нормаль к кривой (465) в точке (0,0) совпадает
с положительной полуосью х. Тогда VI = 0, и поскольку одновременное
обращение в нуль производных силовой функции U%, Uу возможно лишь в точке
равновесия (см. § 165), то Ux Ф 0. Так как в точке возврата х' - у' - 0,
то из (47) видно, что
х"° - и* ф 0, у"° = 0.
Однако положительное направление касательной в точке возврата совпадает с
положительным направлением оси х, так что х (t) >0 ( = я°) при малых t Sg
0 и согласно формуле Тейлора х"° > 0. Таким образом,
х° = 0, х'° = 0,
У° = о,
у'° = 0,
г"0
= и%> 0, у"° = и°у = 0.
Рис. 2.
Дифференцируя второе из уравнений (47) по t при ? = 0, получим на
основании (48i) - (483), что у"'0 = -2х"°. Следовательно, по формуле
Тейлора имеем в силу (48i) - (48з) при
t -у -1- О
z(?)='ctf* + o(?*),
У{Ц= -g + о (| i |3),
(49)
где а = const- = 0. Из (49) непосредственно вытекает указанное выше
правило направления движения по кривой, а также видно, что обе ветви
интегральной кривой вблизи точки возврата имеют в первом приближении
характер полукубической параболы (рис. 2).
§ 239. Если смещение (x(t), у(?)) для решения (31i) известно, то в
соответствии с § 85 можно приближенно найти решения уравнений (32i),
близкие по начальным данным к (31i). Таково практическое значение
результатов, полученных в § 236. Действительно, в этом параграфе
определение семейства решений уравнений (33), зависящих от трех
постоянных, сводится, с одной стороны, к решению уравнения (39). С другой
стороны, нахождение общего решения системы (33) четвертого порядка, т. е.
введение четвертой постоянной интегрирования требует уже лишь одной
квадратуры
216
ГЛАВА III. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
(четвертой является постоянная (35г), соответствующая отклонению от
изоэнергетической вариации).
Однако результаты, указанные в § 236, нельзя применить в окрестности
такого t, например t = 0, при котором скорость v(t) = (х'г -f- у'2)1/а
вдоль решения (31i) обращается в нуль. Если же v(t) =0, то трудности не
возникают (хотя формулы (38i), (39), (43), (45) теряют смысл).
Действительно, если (31i) есть равновесное решение, то определение
смещения x(t), y(t) становится согласно изложенному в § 89 тривиальной
задачей.
Поэтому остается рассмотреть случай, когда v(t) равно нулю при t = 0, не
обращаясь тождественно в нуль при любом t. Тогда дифференциальное
уравнение (43), а следовательно, и коэффициент (45) уравнения (39) имеют
при t = 0 особенность (что согласуется с геометрическим смыслом формул
(38i) -(38з), так как кривая (311) имеет тогда точку возврата при 2 = 0).
Следовательно, необходимы непосредственные исследования приближенного
поведения интегральных кривых, близких к исходному решению (31,) с точкой
возврата при 2 = 0.
§ 240. Переходя к таким исследованиям, предположим, что заданная
интегральная кривая (31,) обладает свойствами, рассмотренными в § 238.
Для того чтобы получить интегральные кривые для уравнений (47), близкие
Предыдущая << 1 .. 77 78 79 80 81 82 < 83 > 84 85 86 87 88 89 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed