Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 85

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 202 >> Следующая

если с 0, то е S=c 1, а 0 для А 0 и р > 0 для А - 0,
(7)
если с = 0, то е = 1 для А ^ 0 и р - 0 для А - 0.
(8)
*) Легко проверить, что это ограничение на постоянные интегрирования h, с
эквивалентно ограничению, налагаемому на траекторию с энергией h
множеством нулевой скорости, соответствующим данному h (см. § 243).
220
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
Тот факт, что в формуле (4) встречается только с2 (но не с), очевиден,
поскольку при замене с на -с мы изменяем лишь направление движения, но не
интегральную кривую (см. § 214).
Легко проверить *), что если h > 0 и с Ф 0, то орбита представляет собой
ту ветвь гиперболы, которая обращена своей вогнутостью к фокусу (х, у) =
(0, 0).
§ 243. Согласно (22) уравнение кривой нулевой скорости при заданном
значении h имеет вид
(*2 + 0*)-'А= - А,
так что эта кривая существует только при h < 0 и представляет собой
окружность с центром в начале координат (х, у) = (0,0). В силу (4) ее
радиус равен 2а, где а - радиус круговой орбиты с постоянной энергии h.
Так как 2а не зависит от с, то видно, что интегральная кривая с
постоянной энергии h < 0 имеет общую точку с окружностью нулевой скорости
лишь тогда, когда е = 1, т. е. когда эллипс вырождается в прямолинейный
отрезок, представляющий собой радиус окружности нулевой скорости. Если же
е < 1, то, очевидно, эллиптическая орбита лежит целиком внутри кривой
нулевой скорости.
Все сказанное согласуется с изложенными выше результатами (см. §§ 169-
170) относительно точки возврата. Заметим, однако, что общая теория
неприменима к решению, достигающему фокуса (х, у) = (0,0), поскольку эта
точка является для правых частей уравнений (2i) особой.
§ 244. Если фиксировать некоторое значение h Щ 0, то квадрат элемента
дуги на поверхности Sh (см. § 212) равен
ds2 = g(dx2 -(- dy2) = g{drl -(- r^cp2),
где
8 = 2{-r+h)-
Следовательно, особенностями на этой поверхности вращения обладают
параллельные круги (или точки), где g = оо или g = 0, т. е. где (х, у) =
0, 0 или т^1 + h = 0. Особенности первого типа
*) Действительно, числитель в формуле (26) § 232а для кривизны к
записывается в случае произвольной силовой функции U = U(r) в (11]) § 211
в виде
(у cos w - х sin w) Ur
где w = w(t)-угол наклона касательной к траектории. В случае силы
Притяжения Uт < 0.
§§ 241-257. ОРБИТЫ
221
могут иметь место при любых h Щ. О, а особенности второго типа
(соответствующие кривой нулевой скорости) лишь при h < 0.
Исключая эти многообразия особых точек на Sa, можно еде--лать на
основании (13) § 212 вывод, что поскольку U - г-1, то гауссова кривизна
определяется на поверхности Sа по формуле
Kh(r) = -\{\ + rh)-\
4
Следовательно, эта кривизна всюду положительна, равна нулю или
отрицательна, если h < 0, h = 0 или h > 0 соответственно. Другими
словами, каждая неособая точка на Sa является эллиптической,
параболической или гиперболической (в смысле определений дифференциальной
геометрии) в зависимости от того, какой орбите (эллиптической,
параболической, гиперболической) на плоскости (х, у) соответствует
постоянная энергии h. В частности, метрика на поверхности Sa будет
евклидовой тогда и только тогда, когда h = 0. Отсюда следует, что если h
^ 0, то на геодезических линиях поверхности Sa не существует сопряженных
точек.
§ 245. Если s = s(t) -длина дуги вдоль некоторой интегральной кривой
х = x(t), у - у(t) с фиксированной энергией h Щ 0
на плоскости (х,у), то s'2 - х'2у'2, так что согласно (17з)
§ 231
W' = s'2==x,2+y'2, (9)
р
W = ^ s'2dtx (10)
р°
где функция W определяется так же, как и в § 99, а интегрирование в
интеграле (10) ведется вдоль данной орбиты между фиксированной ее точкой
P°(x(t°), у (t°)) и переменной точкой P(x{t),y\t)).
Покажем, что если исключить случай прямолинейной интегральной кривой (с =
0), то для функции (10) переменной t можно дать во всех трех случаях Л<0,
h ~ 0, А > 0 простую геометрическую интерпретацию. Действительно, если h
^ 0, т. е. если коническое сечение имеет два фокуса О, F (О - начало,
координат на плоскости (х, у), совпадающее с F в случае круговой орбиты),
то такая интерпретация, как и в случае интеграла (2з), связана с понятием
двумерной секторной скорости. При: этом параболический случай h = 0 не
исключается. Пусть кЩ0г и пусть через а - o(t) обозначается площадь
сектора, ограниченного дугой аРинтегральной кривой x = x(t), y - y(t) н
222
ГЛАВА IV. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
радиус-векторами ОР°, ОР. Тогда a'(t) - секторная скорость и 2а' - с,
причем, по предположению, с ф 0. Кроме того, если через I ='l{t)
обозначить длину перпендикуляра, опущенного из О ца касательную к
интегральной кривой в точке P(t), то da = Ids и а' = Is'.
Исключим пока параболический случай h = 0. Обозначим через о = a(t) и I =
I (t) функции, которые определяются так же, как и функции a(t), l(t), но
после замены фокуса О на фокус F и при сохранении точек Р°, Р. Тогда мы
получим соотношение а' ==¦ Is', аналогичное соотношению а' = Is', так что
Предыдущая << 1 .. 79 80 81 82 83 84 < 85 > 86 87 88 89 90 91 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed