Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
т=2т, {C-3(g*-n8)2}'A, J
где { }'1г > const > 0, увидим, что уравнение (И) для Fc* можно
записать в виде
^ + 'т)2 + о2 + т2 = 8.
Мы пришли, таким образом, к уравнению трехмерной гиперсферы S в
четырехмерном пространстве (?, ц, о, т). Однако соответствие между
точками гиперповерхности Fc* и гиперсферы S не оказывается взаимно
однозначным. Как было указано в § 499, изоэнер-гетические состояния (?,
ц, ?, ц) и (-|, -т), -?, -ц) изображаются одной и той же точкой на Fc*. В
соответствии с (12) это приводит к отождествлению двух различных точек
(^, т], сг, т), (-?, -ц, -о, -т) на S.
Таким образом, точки Fc* находятся в непрерывном взаимно однозначном
соответствии с точками многообразия S*, которое получим при условии
отождествления диаметрально противопо-дожных точек гиперсферы S. Однако
это многообразие S* совпд-
§§ 489-502. СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ
471
дает с многообразием всех прямых, проходящих через центр S. Так как S
представляет собой трехмерное проективное пространство, то на этом
доказательство полностью заканчивается.
Можно упомянуть, что в силу непрерывности доказательство и результат
остаются без изменений, если заменить (4) на (2) и пе исключать
предельный случай р = 0 (§ 300).
§ 501. Отождествляя (6i) - (62) § 229 и (84) -(94) § 498, а так-
же (21) § 232 и (И) § 499, увидим, что результаты § 232 применимы.
Следовательно, те решения | = ?(*)" тп = т](?), 1 = = 1(0> Л =,л(0
уравнений (9t) § 498, которые образуют трехмерное многообразие Fc*, можно
получить при рассмотрении системы
I = Е(1, т), со, С), Л = Н(|, т), со, С)л и = й(1, т), и, С). (13)
трех дифференциальных уравнений первого порядка для трех пе-
<П
ременных 1, т), ш = arotg^ (см. (24) § 232).
В силу (25) § 232 эта система удовлетворяет условию несжи-
маемости, приведенному в § 122. Так как (13) получено из (9t) в
результате изоэнергетической редукции, то из § 81 видно, что Fc*
представляет собой для (13) инвариантное множество. Последнее же
замечание в § 498 позволяет сделать вывод, что все решения можно
рассматривать как неограниченно продолжаемые в смысле, указанном в § 119.
Поэтому Fc* является для уравнений
(13) инвариантным неограниченно продолжаемым множеством. Итак, (13)
удовлетворяют всем условиям, указанным в §§ 120-121.
§ 501а. Наконец в существенном для астрономии случае Fc* удовлетворяется
также и остающееся предположение, указанное в условии эргодической
теоремы (§§ 123-124).
Действительно, это предположение заключается в том, что мера (евклидова)
объема пространства (1, т]) для (13) должна быть конечна. Однако со -
угловая переменная, приведенная к mod 2п, так что достаточно показать,
что допустимое двумерное пространство (?, л) имеет конечную евклидову
площадь. Однако в существенном для астрономии случае это условие
удовлетворяется, поскольку в этом случае, как это видно из § 497,
допустимое пространство оказывается практически равным небольшому кругу
х2 + У2 ^ 4С-2, соответствующему согласно (7) двум кругам + Л2 < 2С-1 на
плоскости (1, л)-
§ 502. Заменяя ограниченную задачу трех тел пространственной схемой,
рассмотренной в § 478, и повторяя рассуждения,
472
ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
которые привели в §§ 489-492 к (4) -(5j), легко найдем, что (4) следует
заменить функцией
u=\x2 + l2z2-^2+y2 + z2)-'11' (14)
а (5i) - уравнениями (2t) - (2з) § 478.
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ОРБИТА ЛУНЫ
§ 503. Исходной точкой современной теории Луны является некоторое решение
x = x(t), y = y{t) уравнений (5i) § 493. Это решение, найденное Хиллом,
представляет движение, симметричное по отношению к обеим координатным
осям х = 0, у = 0 и периодическое относительно t с периодом т, который
является постоянной интегрирования уравнений (5i) § 493. Если выбрать
начало отсчета t так, что Луна расположена при t = 0 на оси х вправо от
начала координат и, следовательно, а:(0) > 0, у(0)=0, то требуемые
условия симметрии представятся четырьмя равенствами
*(-0 = *(0 = -* (* ч-
(1)
~у(-0= y(t)= + .
Согласно этим равенствам разложения периодического решения в ряды Фурье ^
x(t)= 2 (а" cos xnt + Р" sin vret)"
ft=0
oo
y(t)~ 2 (Y" cos vnt + 9*п vnt) I
n**0
где v = 2л / т, должны быть таковы, что не только р" = уп = О, но также
azn = 0, бгп -О при всех п. Таким образом, если o.i', +t == Лп, Ргп+i ==
Лп, то
§§ 503-515. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ОРБИТА ЛУНЫ
473
Заменяя Ап, Вп их линейными комбинациями
2ап == Ап -[- Вп, 2a_"_i Ап Вп, где п 0, 1, 2, ..., запишем (2) в виде
(2а)
(3)
У(*)= 2 aftsin(2fc + 1) -,
т= т:2я.
Конечно, существо проблемы заключается в нахождении решений х = x(t), у =
y(t), имеющих вид (2) или (3), где период т = 2ялг есть постоянная
интегрирования, определяющая амплитуды
Эти решения уравнений (5i) § 493 образуют искомое однопараметрическое
семейство решений.
§ 504. Операции, приводящие к этому семейству периодических решений,
подчиняются непосредственно программе, указываемой вполне четко,
поскольку ее можно описать следующим образом.
