Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
круге (21) значения, меньшие по абсолютной величине, чем р*, Дс = 1, 2,
... Эти условия удовлетворяются при п - 1=0, так как Yk°(x) = 0. Легко
перейти по методу индукции от п - 1 к п. Действительно, так как
|У^_1(а:)| < в круге (21) и так как полиномы У^_1(г) имеют вещественные
неотрицательные коэффициенты (как и степенные ряды Fh' (х, Yi, У2, ...)
по бесконечному числу переменных х, Yi, У2, . ..), то из (19Д видно, что
К (я, уГ^ф.уГ1'(*),...)
определяет в круге (21) регулярную аналитическую функцию, которую можно
представить сходящимся степенным рядом по х. При этом сумма этого
степенного ряда по х не может превышать Иь по абсолютной величине в круге
(21). Кроме того, коэффициенты этого степенного ряда по х - вещественные
неотрицательные числа, так что значения частных сумм
[^(х.У^И.УГ1 (*),...).]
в круге (21) также не могут превосходить р* по абсолютной величине.
Следовательно, (24) определяет при всех к полиномы У&" (х), имеющие
вещественные неотрицательные коэффициенты и удов-
§§ 503-515. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ОРБИТА ЛУНЫ 481
летворяющие в круге (21) неравенству
|5V*(z) | k|pft,
или (в силу( 19г), (21))
| У* (х) | *? Р*.
Этим завершается переход от п - 1 к п.
Так как абсолютные значения частных сумм Ykn(x) степенных рядов Yk(x) не
превосходят Рь в круге (21), то очевидно, что ряды Yk(x) сходятся и
удовлетворяют в круге (21) неравенству
1М*)1 < Рь-
Это завершает доказательство всех утверждений, сделанных в § 507 в
случае, если (20) заменено на (23). Однако очевидно, что (23)
представляет собой по отношению к (20) мажорирующую систему.
Следовательно, теорема существования, сформулированная в § 507, и
формулы (22i) - (22г) справедливы также и для
системы (20). Наконец, справедливость последнего замечания, сделанного в
§ 507, вытекает из того, что частные суммы Укп(х) степенных рядов Ук{х)
находятся с помощью рекуррентной формулы, аналогичной (24):
ijk(x) = x [Fh (i/Г1 (х), уг * (х),.. .)]"-!. (24а)
§ 509. Имея в виду применение доказанной теоремы существования, заметим,
что в силу (15) [/',/] = -1 и [/,0] =0 при ] = ±1, ±2, ... Следовательно,
(14) можно записать в виде
+оо
а0а, = 0 + 2т2 [/] Oo^-i + 2m2 (у) а0а_у_i 2* [у, 0 я/ац +
г=-оо
+оо +оо
+ т2 W aia-i+j-i + mZU) '2i'"ciiCL-i-j-1, (25)
со i=-30
если штрихи у знаков сумм означают, что в ?', Е", Ъ"г следует опустить
пары индексов
i = y, i = 0; i = / - I, i = 0; i = -j - 1, i = 0 (25a) соответственно.
Таким образом, разделив (25) на maaz и полагая
а 1
= -i-, (26)
та0
где / = ±1, ±2, ..., увидим, что система (25) эквивалентна
31 А. Уинтнер
482 ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
следующей:
+ ОС -foo
Cj
1=-00
j = те j 'У' [/, i] CjCi-j + те2 [/] 2" с*с_<+;Н1 +
-00 оо
+(r)
+ те2 (/) 2dc-n-i + 2те [/] см + 2т (j) c_j_i}, (27)
где /=-±1, +2, ... Оказывается, теорема существования, сформулированная в
§ 507, непосредственно применима к системе (27).
§ 510. Чтобы это показать, обозначим в соответствии с (18) - (18а)
через/* = /*(т) степенной ряд
| Со | +1 Ci | т +1С21 те2 + ...,
соответствующий функции / = /(те), которая разлагается при малых | т | в
ряд Тейлора
Со -j- Cim -f~ С2те2 -{-...
Тогда для всего бесконечно большого числа рациональных функций (15),
(16), (17) параметра т и при соответствующем числе Л, не зависящем от i,
/ и т, справедливы при \т\ ^ 1 неравенства
2 " \
), (28!)
+
]
|[/Г|<4-, К/Г1<|-- (282)
Г Г
Действительно, если функция /(яг) = С0 + Cim + ... является регулярной
аналитической в круге | т | < R и если \f(m) ] < М = const в этом круге,
то, как известно,
М
| Сп | < , ti = 0, 1,2,...
Следовательно,если R > 1, то
'I/* (т) I < Ш
Л-1
при |те|г?;1. Разделив числитель и знаменатель в (15) на 2(4/2 - 1),
увидим, что для доказательства (28Д достаточно показать существование
чисел М> О, Л > 1, обладающих тем
§§ 503-515. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ОРБИТА ЛУНЫ 483
свойством, что все рациональные функции , , , Г 4та - тп2 Л_1
/,-(") = (1 2(0-U 'Г ' У = ±1, ±2'-"'
являются в круге | m | < R регулярными аналитическими и остающимися по
абсолютной величине меньше М. Но это условие удовлетворяется при R - &/7
и достаточно большом М = const, поскольку
< ^1 -*"-^)( 4-h 1 -Ь-ут) < 6^2(4/2-1),
7 - ±1, ±2, .. .,
если | та | < 1 + 77.
Таким образом, (28j) доказано. Неравенство (28г) выводится с помощью (16)
- (17) точно таким же путем.
§ 511. Нам понадобится дополнительно тот элементарный результат*), что
при всех / = ±1, ±2,.. . имеет место неравенство
+0О /
2 i-2(/ О-2 < Cj~2, (28а)
i=-oa
где С - некоторая постоянная **), причем индекс i принимает при
фиксированном у все целые значения, кроме i - 0, i = j.
Кроме того, (28а) остается справедливым после замены любого из трех
показателей -2 на целые отрицательные числа -3, -4, ..., причем значение
постоянной С зависит от этих чисел.
§ 512. Следствием (28i) - (28а) является существование достаточно большой
постоянной А такой, что если бесконечное число переменных тп, сi, c-i,
Сг, с_2,... ограничено неравенствами
