Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
Подставляя ряды Фурье (3) в дифференциальные уравнения
(5i) § 493, придем после приравнивания коэффициентов при cos(kt I т),
sin (kt I т) при всех к в бесконечной системе алгебраических уравнений
для неизвестных коэффициентов (4). Обозначим эту бесконечную систему
через (5), так что (5) содержит все неизвестные функции (4) и параметр т,
который вводится вместе с производными х', у', х", у" рядов (3).
Поскольку уравнения (5i) § 493 нелинейные, то такова же и система (S).
Кроме того, система (S) не является рекуррентной, так как каждое из
уравнений системы содержит всё неизвестные (4).
Тем не менее оказывается возможным показать, что система определяет
функции (4) единственным образом, во всяком случае, при условии, что
период 2пт, рассматриваемый как независимая переменная, не превышает
некоторого предела. Конечно, для полного доказательства существования
периодического семейства (3) необходимо показать, что в решении (4)
системы
(S) величины ah(m) стремятся при к->-±оо к нулю настолько быстро, что
формальные тригонометрические ряды (3) сходятся
ак = ак(т), к = 0, ±1, ±2,...
(4)
474 ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
к периодическим (аналитическим) функциям t при любом фиксированном т в
рассматриваемом промежутке.
Наконец, этот промежуток, которому может принадлежать постоянная
интегрирования тп, должен содержать также численные значения т =¦ тп0,
соответствующие наблюдаемому движению Луны. Поскольку это значение т0
мало (та - 0,08084 ...; см. ниже § 518), интересующий нас промежуток для
значений т охватывает небольшую окрестность вблизи т = 0.
§ 505. Непосредственное составление системы (S) облегчается
d
после замены координат х, у, времени t и оператора ' = - на
dt
и = x + iy, v = x - iy, (5t)
it
I
°=4 ("
соответственно, где i - ] - 1. Прежде всего, используя (5i), откуда uv =
х2 -j- у2, u'v' - x'2 + к'2, и учитывая (4) § 491, представим лагранжевы
уравнения (5j) § 493 и их интеграл энергии
(52) § 493 в виде
Q
и" + 2 iu'-----(и + v) =
2 (uv)*'2
/ 3 "
2 iv (и + и) - -
2 (uv)
S/ '
(6,)
bV - 1(в + i>)> - = - С. (fc)
В соответствии же с (52) -(53), где ' = -, можно переписать
dt
(61) - (62) следующим образом:
3 и
D2u-\-2mDu-\------т2(и-\- v) = т2-^-7-,
П / \
2 (uv)
3 у
D2v - 2mDv -\---------т2(и + v)= т2
2 (uv)
%
СМ
О 77Ь
PuDv + -rm2(u + v)2-\-2^-пг==С- (72)
4 (uv) к '
5§ 503-515. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ОРБИТА ЛУНЫ
475
Разумеется, через D2 обозначается двукратная операция DD, так что,
например,
D2 (uv) = uD2u 4 2Du Dv 4 vD2u, l D (Dv - vDu) = uD2v - vD2u, J ^
^
поскольку
D(f + g) = Df + Dg,
D(fg)=fDg + gDf.
Из (5i) - (52) видно, что формулы (3) для искомого семейства
периодических решений можно заменить следующими:
-{-оо 4°°
и= '2 v= 2. (9)
fe=-оо А=-оо
Следовательно, первый пункт программы, изложенной в § 504, а именно,
построение системы (S), требует сравнения коэффициентов при различных
степенях ? в правой и левой частях уравнений, получающихся после
подстановки (9) в (7i). Хотя ввиду наличия в (7i) квадратного корня и
знаков деления такая операция представляется весьма мало доступной, можно
преодолеть эту трудность благодаря замене (uv)-*11 в (7i) кубом полинома,
который можно выписать для (uv)-''1 на основании (7а).
Действительно, используя (8) и (72), легко найдем, что два уравнения
движения (7i) можно записать при любом фиксированном значении постоянной
энергии С в виде
Q
D2(uv) - DuDv - 2m(uDv - vDu) 4 - та2(и 4 v)2 = С,
3
D (uDv - vDu) - 2mD (uv) 4 - m2 ("z - v2) = 04
2
(10)
где уже нет радикалов и дробей. Между прочим, переход от (7i) к (10) с
помощью (7г) эквивалентен переходу от (5i) § 493 к (6) § 493 с помощью
(5г) § 493.
§ 506. Из (52) - (53) видно, что формальная производная Df ряда Фурье / =
/(?), имеющего вид
476
ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
равна
2 (2k + i)aht(tm)+1.
Вместе с тем из самого определения (5г) вытекает, что если g - - 8 (?) -
Другой ряд Фурье, имеющий такой же вид
то произведение fg представится рядом Фурье где
У ft = 2 ajpb-j-i
(индексы А и у пробегают значения от -оо до +°°). Применяя эти два
правила конечное число раз, увидим, что после подстановки (9) в (10)
придем к соотношениям +00 +00
2 = 2 v^ = o, di)
k=-oo k=-oo
где p.*, Vfc не зависят от ? (т. е. от t) и представляют собой полиномы
относительно параметра т и бесконечного числа коэффициентов (4). В силу
(11) система уравнений, которым удовлетворяют коэффициенты (4),
записывается в виде
Ро = С, vo = 0, pj = 0 = Vj, / = ±1, ±2,.... (11а)
Выполняя непосредственно указанные перед (11) подстановки и комбинируя
полученные таким путем уравнения (На), придем к следующему результату *).
Система уравнений (11а) эквивалентна бесконечной системе, состоящей, с
одной стороны, из двух уравнений
J-OO g g
2 {( 2i + Г + 8t + 4m + - m2 )°i + у m2a*a_{_i j = Ct (12)
fcs=-oo
+<*> 2 +" ______________________________
| 2"* } 2; {4i2 + 4i-f 1-f 4i + 2m-f-3m2}aj = m2 (13)
oo i=-oo
