Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
(г2 -f- у2)~'/г и его производными) с помощью (5г).
Действительно, с учетом (4) и с помощью (50 нетрудно записать (50 в виде
ху" - ух" + 2хх' + 2уу' + 3 ху = 0,
в" ¦+ УУ" + 2УХ' - 2ху' +1 z'2 + i у'2 - 9- х2 + L С = 0,
(6)
где левые части не содержат особых точек. Соотношение (5z) является
инвариантным соотношением (§ 80) не только для (50, но и для (6).
§ 494. Из вывода выражения (4) видно, что в предельном случае
(2) тело с большой массой 1 --р. можно рассматривать расположенным на
оси сизигий у = 0 в бесконечности (х = -оо).
В силу этого замечания ясно, что третья из коллинеарных точек (160 и обе
треугольные точки либрации (16г) § 469 исчезают. Действительно, из (4)
легко найти, что Ux - 0-Uv лишь в
30 Л. Уинтнер
466 ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
царе точек (х, у) = (±3_,/з, 0), соответствующих, очевидно, первым двум
из трех точек (16i) § 469. Функция U (х, у) имеет в каждой из этих точек
седло, так как матрица Гесса для (4) представится при (х, у) = (±3-,/з,
0), как нетрудно видеть, в вйде (17i) § 469, причем + =9, - = -3.
Подставляя эти значения в (19) -(20) § 475, увидим, что уравнение (21t) §
475 сохраняет свой вид, причем (?) = -2, (-) = -27. Таким образом, четыре
характеристических показателя s для двух существующих равновесных решений
x(t) =
ss ±3_|/з, у (f) = 0 равны s = ±yi + 2f7, s = гЫУ- 1 + 2y7. Это
согласуется с (I) § 476.
§ 495. Функция (4), принимающая всюду положительные значения, стремится к
0 при стремлении г2 + у2 к +оо вдоль оси у. Вместе с тем (4) стремится к
+оо при х2 + у2 -*¦ -)- оо вдоль любой полупрямой, отличной от оси у,
причем равномерно для любого замкнутого множества таких полупрямых на
плоскости (х, у). Кроме того, (4) обращается в +оо в начале координат (х,
у) - (0, 0), а поверхность U = U (х, у) в пространстве (х, у, U)
симметрична по отношению к обеим плоскостям х = 0, у = 0. В соответствии
с § 494 касательная плоскость к этой поверхности параллельна плоскости
(я, у) лишь в двух точках (х, у) - (±3-,/з, 0). В этих точках поверхность
U = U(х, у) имеет седло, а матрица Гесса в них неопределенна. Согласно
(4) ап-
з _
пликата U в этих точках равна 3/аУЗ.
§ 496. Обозначим, как и в § 471, Рл, Z/,, N/, множества тех точек па
плоскости (х, у), где аппликата U поверхности U = U(x, у) больше, равна
или меньше аппликаты плоскости U = -А соответственно (А - фиксированное
вещественное число).
Если 0 А< +оо, то Рл и Z/i -пустые множества (N/i совпадает со всей
плоскостью), так как функция (4) всюду положительна.
Если -оо < А < 0, то топологическая структура областей Рл,
N/i и их границы Z/, зависит лишь от того, будет ли постоянная
з_
-А меньше, больше или равной критическому значению 3/гУЗ.
3 _
Действительно, значение 3/2УЗ является согласно § 495 единственным,
совпадающим с аппликатой критических точек поверхности, т. е. точек, для
которых касательная плоскость параллельна плоскости (х, у) и где grad U -
0.
Во в^сех трех возможпых при - оо < А < 0 случаях
-А ^ 3/2у3 мы увидим из § 495, что кривая Z/,.: U (х, у) = -А
§§ 489-502. СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ
4f)7
симметрична относительно обеих координатных осей и что она должна
обладать асимптотами, параллельными оси у. Согласно (4) асимптотами
являются две прямые х = ± (-2/зА)1/:- Из (4) также видно, что во всех
трех случаях, возможных при -оо < А< 0, кривая Z/, пересекает ось у в
двух точках: (х, у) = (0, +А-1) и (х, у) = (0, -А-1). В то же время пары
точек (±|х0|, 0) кривой Zh на оси х определятся кубическим уравнением
+ g Л|(r)о|+?- = 0, где |х0| > 0. Так как дискриминант
з _
имеет тот же знак, что и число -А - 3/2У3, то количество пар
"-
(± |яо|, 0) точек Zh на оси х равно 0, 1 или 2 при -А Щ 3/2уЗ
соответственно.
§ 497. Эти три случая схематически представлены на рис. 15, а, б, в*).
Через С обозначена постоянная, равная -2А, а вещественные ветви
алгебраической кривой Z_.&c: U(х, у) = V2С представлены границей между
заштрихованными и незаштрихованными областями, представляющими множества
Р~ч,с и N_y,c соответственно.
В силу (52) ветви кривой Z_vtс, где 0 < С < представляют собой кривую
нулевой скорости, соответствующую фиксированной постоянной энергии А = -
1/гС'. Незаштрихованные же области, т. е. N-'ic, устраняются в
соответствии с интегралом энергии (см. § 167).
Из § 492 видно, что в силу предположений, лежащих в основе замены (2) на
(4), астрономическое значение имеет лишь случай, в котором траектория х =
x(t), у = y{t) Луны всегда располагается в окрестности Земли, находящейся
в начале координат (0,0). В соответствии с рис. 15, а, б, в это будет
лишь тогда, когда С велико и, кроме того, начальное положение Луны
выбрано внутри той из трех заштрихованных на рис. 15, а областей, которая
окружена областью Р-у,с (т- е. внутри заштрихованной области, окружающей
начало координат). Эта область приближенно совпадает
*) Рис. 14, а, б, в, г § 472 соответствуют лишь рис. 15, а, б, поскольку
рис. 15, 6 соответствует трем предельным случаям при переходе от одного К
