Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
*) Детали этих элементарных вычислений можно найти в соответствую-щем
мемуаре Хилла.
§§ 503-515. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ОРБИТА ПУНЫ
477
и, с другой стороны, из бесконечной системы +00
2 {[/'. *1 fli a<-j + т* [/1 а< O') a-i-j-i} = o, (14)
i=-oo
где [/', i], [/], (7) -рациональные функции независимой переменной т, а
именно
причем / = ± 1, ±2, ..., но г = 0, ± 1, ±2, ...
Очевидно, система уравнений, обозначенная в § 504 через (5), состоит, с
одной стороны, из бесконечного числа уравнений
(14) с коэффициентами, выражаемыми согласно (15) -(17), и, с другой
стороны, из единственного уравнения (13). Действительно, роль уравнения
(12) сводится лишь к тому, что оно позволяет выразить постоянную Якоби С
как функцию С{т) параметра т семейства периодических решений (3) после
того, как соответствующее решение (4) уже найдено.
§ 507. Теперь необходимо доказать теорему существования, которая
применима к системе (S) (см. § 504). Чтобы формулировать эту теорему,
определим степенной ряд F бесконечного числа переменных zо, 2i, 22, ...
(безотносительно к вопросу о сходимости) выражением вида
представляет собой форму п-й степени по z0, zi, ... При этом п
неотрицательных индексов U, ..., in (не обязательно различные)
i 4(7 - 1) i + if + 4/ - 2 - 4(i - j + i)m -f m-/' 2(4)z - 1) - km
-f- m?
(15)
3 472 - 8/ - 2 - 4 (/' + 2) та -
9лг2
ТбJ2 2 (4 f - 1) - 4m + m2
(16)
3 20f - I67 + 2 - 4 (5/ - 2) m + 9m2 16J 2 (4)2 - 1) - Am + m2
(17)
OO
F{zo,zu...)= 2*W,
(18)
n=0
где
478 ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
выбираются так, что в и-кратном ряде одночлен по z, встречается только
один раз. Обозначим для любого степенного ряда (18) через F* другой
степенной ряд
ао
г(*0,*1,...) = 2 (18а>
71=0
где
так что F*(z0,zi, ...) = F(z0, zit ...) тогда и только тогда, когда все а
^ 0.
Пусть дана бесконечная последовательность
Fi{xyyu yz,---),---,Fh{x, уи У2, ¦••)
степенных рядов (18), где z0 = х, zi = yh ..., zk - yh, ..., и
предположим, что существуют две положительные постоянные и две
последовательности положительных постоянных, например а, у и Pi, . ..,
pfe, . . . ; pi, ... , pa, ¦ ¦ ¦, удовлетворяющие двум бесконечным
последовательностям неравенств
Fh (щ Pi, Рг, ¦ ¦ •) ^ Ма> (19i)
- >У (19.)
Цй
при любом к (заметим, что Р& > 0 и рь > 0 могут зависеть от к
произвольным образом, но а>0иу>0 предполагаются не зависящими от к).
Теорема существования, о которой идет речь, утверждает, что если (19i) -
(19г) удовлетворяются, то бесконечная система уравнений
yk- xFk(x, уи Уг, ¦¦¦), к = 1,2,..., (20)
обладает в достаточно малом круге вокруг начала комплексной
плоскости х, а именно, во всяком случае, в круге
| х | < Min (а, у) (а > 0, у > 0) (21)
(радиус которого не зависит от к) одним и только одним анали-
тическим решением yi -• yi(x), У2 = У2(х), ... Для этого единственного
решения
1Уй(я)|<Рй (220
при Ы < Min (а, у),
Ук( 0)=0, (22*)
§§ 503-515. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ОРБИТА ЛУНЫ 470
где к = 1, 2, ... Наконец, ук (х) будет вещественным при вещественном х,
если все коэффициенты каждого степенного ряда Fk{x,yi,y2, ¦ ¦ ¦)
вещественные.
§ 508. Доказательство этой теоремы состоит в следующем. Используя
обозначения (18) - (18а), рассмотрим сначала
Yh = xFk(x,YuY2,...), к= 1,2,..., (23)
вместо (20). Сформулированная в § 507 теорема существования может быть
применена также и к (23), поскольку предположения (19i) - (19г) одни и те
же как для (20), так и для (23). Таким образом, необходимо доказать
существование одного и только одного аналитического решения
ОО
Yh= Yh(x)= 2 Chmx(tm)
m=0
уравнений (23) в круге (21). Обозначая п-ю частную сумму
П
т=0
любого степенного (формального) ряда
О"
/0е) = 2 "т*"1
Т71=0
через [/(г)]п, подставляя бесконечное число степенных рядов Y\{x), Y2{x),
... (еще неизвестные) в (23) и приравнивая коэффициенты при хп в
Yk(x) = xFl (z, Yi(x), ВД,...),
увидим, что если ?к{х) существует, то частные суммы [Уь(а:)}п должны
удовлетворять соотношению
[Уь(а:)]7! = [xFh (х, Yi(x), Yz(x),.. .)]¦" =
x[F\ (х, Yi{x), Y2(x), .. .)]n_i =
= (x, [7i(a:)]n-i, [Y2(x)]n-i, ¦ ¦
Другими словами, степенные ряды Yk{x) должны быть выбраны гак, что если
через Ykn = Ykn(x) обозначить полином [Уь(г)]п
480
ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
степени п, то
У." (х) = * [FH (х, уГ_1) (х) , Y?-l) (*),.. (24)
Эта рекуррентная формула и позволяет определить все частные суммы Yhn(x)
всех рядов Yh(x) следующим образом.
Полагая х = 0 в (23), увидим, что (222) удовлетворяется при Уь - Yk, так
что Уй(0) = 0, т. е. Yh°(x) = 0. Этим самым определяется первый шаг при
нахождении Yf%* (х) с помощью рекуррентной системы (24). В частности, при
п = 1 получим, что
Ylk(x)= xtf (0,0,0,...),
поскольку в силу определения оператора [ ] п имеем
[Fl (х, У? (х), У2° (*),.. .)]0 = [F? (х, 0, 0,.. .)]".
Предположим, что при некотором п - 1 ^ 0 и при всех к полиномы Yh°(x)t
У*1 (я), ..., Y^'}(x) уже определены в соответствии с (24), причем эти
полиномы имеют вещественные, неотрицательные коэффициенты и принимают в
