Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
|тп|^1, |cj|^7~4, 7'=±1, ±2,..., (29)
*) Этот хорошо известный результат играет фундаментальную роль в теории
Римана тригонометрических рядов, а также в теории умножения таких рядов.
**) Имея в виду доказательство существования такой постоянной С,
заметил:, что если у четное, то, сдвигая индекс суммирования ? на 1/2j,
можем записать сумму в левой части (28а) в виде
{=э-оо г--оо
Но очевидно, что последняя сумма меньше, чем произведение некоторой
постоянной на } _2, так как Si-2 < -f-oo. Этим самым (28а) доказано для
чет * ного /. Для нечетного у доказательство такое же.
31*
484
ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
а в остальном произвольны, то при / = ±1, ±2, ...
+оо
(30,)
IШ* I 2" I m2CiC-i+j-i I < Ar\
i-~ oo
-Н"
(302)
I (/) * I 2"' I m2ac-i-j-i I < Aj-b,
21[/]* | mcH | < Aj-\ 2! (/)* 11 mc_,41 < Л/-4. (30s)
Действительно, из (28,) видно, что в области (29) выражение в левой части
(30i) меньше, чем произведение постоянной В на
или же (если учесть (28а) и обобщение этого неравенства, упомянутое в
конце § 511) меньше, чем
Отсюда следует (30,). Неравенства же (302) вытекают из (282) точно так
же, как (30,) и (28,). Наконец, справедливость (З03) очевидна в силу (29)
и (282).
§ 513. Так как рациональные функции (15), (16), (17) параметра тп могут
быть разложены (см. § 510) в ряды по целым неотрицательным степеням m
(при малых | тп |), то можно записать систему (27) в виде
где Gj - степенные ряды по бесконечному числу переменных тп, Cj. Заметим,
что относительно бесконечного числа переменных Cj (но не тп) каждое G
представляет собой полином второй степени.
Но сумма последних двух рядов меньше, чем
г22- М-3|;-Л-3,
оо
7-2 ¦ Cj~z + | /1-1 ¦ С | /1~3 = const ¦ /~4.
Cj = mGj(m, с,, с-,, с2, с-2, ...), / = ±1, ±2,..., (31)
503-515. ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ОРБИТА ЛУНЫ
485
Так как Gj служит коэффициентом при т. в правой части (27) и так как
(30i), (302), (З03), где А = const, справедливы в области (29), то
существует достаточно большое М = const(^5.4), удовлетворяющее
неравенствам
G;*(l, I-4, 1Л2-1,2Л...)<-^/-4, / = ±1, ±2,... (32)
Если отождествить т, cj, c_i, .. . и G, G~i, ... с х, z/i, у2, .. ¦ и Fi,
F2, ... соответственно, то (31) совпадает с (20). Вместе с тем (32)
показывает, что условия (19i) - (192) удовлетворяются при а - 1, у = 1 /
М. Таким образом, круг (21) совпадает с кругом \т\ < М~1, где верхняя
граница М не должна быть меньше 1.
§ 514. Следовательно, теорема, сформулированная в § 507, гарантирует
существование одного и только одного решения с;- = = Cj(m) системы (31) в
круге \т\ < М~1, причем Cj(m) -регулярные аналитические функции т,
остающиеся меньше у'-4 в этом круге, а с^.(О) = 0 (см. (22i) - (222)).
Вместе с тем (31) эквивалентно (25), т. е. (14) в силу (26). Таким
образом, бесконечная система уравнений (14) относительно бесконечного
числа неизвестных функций (4) параметра т определяет отношения Qj / ао в
круге | пг|<Л/-1 единственным образом как аналитические функции т и так,
что при | т \ < М~1
й- = т?Р5(т), | mPj(m) | < j~l(j = ±1, ±2, ...), (33)
До
где Pj (т) - степенные ряды по т с вещественными коэффициентами.
Вычисляя несколько первых членов этих рядов с помощью рекуррентной
формулы (24а), получим на основании (25) и
(15) -(17), что
30749
3 , , 1 э . 7 4 . 11
- = - uv- -4- - ш -I------------------------------------/71 -I----------т
а0 16 2 12 36
2"-3я
т
6____
Д-i__________
а о
а2 25 До
Д-2 До
19 5 ,
- тп2 - - т3 -16 3
43
- т
4 ___
14
803
36 27
6109
-т°
7381
------------т6 +
210.34 ^
= ш
256 0-т1 +
1920
¦
25 ¦ З2¦ 52 299
23 р
-- т' 1----------------
640 1 25 ¦ 3 ¦ 52
дз 833 д-з
- = тв 4- . .,------------------------
До 212-3 До
1 в I Я4
т6 4- ..., - = ...
192 до
Г(33а)
486
ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
Согласно (33) мы получаем лишь отношения неизвестных функций (4). Это
обусловлено тем, что при выводе (33) была использована лишь бесконечная
система однородных уравнений (14). Система же (S), о которой шла речь в §
504, состоит из (14) и неоднородного уравнения (13) (см. § 506). Поэтому
можно теперь использовать (13) для определения ао = о<у(тп). Для этой
цели достаточно записать (13) в виде
и заметить, что выражение в правой части (34) представляет собой в силу
(33) известную функцию тп. Используя, в частности, приближенные выражения
(33а), получим
Таким образом, все неизвестные функции (4) параметра тп выражаются
формулами (33) - (34) или приближенно формулами (33а)-(34а).
§ 514а. Из изложенного в § 506 видно, что оставшееся соотношение (12)
выражает лишь тот факт, что ряды (3) удовлетворяют, по крайней мере
формально, не только уравнениям движения, но и интегралу энергии.
Подставляя в левую часть (12) функции (4), для которых уже получены
формулы (33) - (34) или (33а) - (34а), получим постоянную энергии как
функцию периода (см.
§ 515. Теперь можно говорить о существовании семейства периодических
решений (3) при всех положительных и отрицательных значениях параметра
