Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 174

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 168 169 170 171 172 173 < 174 > 175 176 177 178 179 180 .. 202 >> Следующая

другому из четырех типов, представленных на рис. 14, а, б, в, г
(предельные случаи на рисунках в § 472 не иллюстрируются). Заштрихованные
области представляют собой на рис. 15, а, б, в допустимые области, а на
рис. 14, а, б, в, г - запрещенные области.
30*
468
ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
в силу (4) с внутренней частью круга (х2 + у2) -'I* = */гС радиуса 2С~1
(-> 0) с центром в Земле.
§ 498. Для того чтобы регуляризировать (5i) - (5г) при каком-либо
фиксированном С (-оо ¦< С ¦<-f-oo), (6) можно заменить
а)
б)
Рис. 15.
б)
уравнениями, получающимися после применения к силовой функции (4)
параболического отображения, использовавшегося в § 446,
х + iy = z = t2 = (| + щ)2 (7)
или
X = I2 - Т]2, у - 2|Т| (см. § 54). Действительно, тогда (9i) - (92) § 446
запишутся в виде
Ъ2+Ч2 = 2и(^,т\,--2с), (8t)
U = 4 - 2{l2 + rf)C + 6(?2 - л2)2(?2 + л2), (8г)
a (8j) - (82) § 446 сведутся в соответствии с (10i) - (Ю2) § 447 к
!-8(?2 + т12)л = ГД4
Л+8(64-Л*)6
г = 4(12 + Л2), (9я)
где точками обозначается дифференцирование по переменной t = ?(?),
определяемой из (92) обращением интеграла.
Сравнение (8г) и (12) § 447 показывает, что формулы, приведенные в § 448,
остаются справедливыми и при р, = 0. Таким
¦ии | йл, *
(9i)
§§ 480-502. СПУТНИКОВЫЕ СИСТЕМЫ
469
образом, если столкновение Луны (?(?), л(0) с Землей (?, г]) = = (0, 0)
имеет место при ? = 0 и если начало отсчета t выбрано так, что оно
соответствует значению t = 0, то в силу (13) - (16) § 448
g = (8'/"cosy)t + ¦ ¦ ¦, Л = (8,/!siny)t + ..., (10i)
32
* = _*> + ... (Юг)
где у - постоянная интегрирования и I ^ 0 достаточно мало. Выводы,
сделанные в §§ 448-450 на основании такой униформиза-ции особой точки в
момент столкновения t = 0, сохраняют свою силу. С соответствующими
очевидными изменениями (и упрощениями) могут быть также повторены
рассуждения, приводившиеся в §§ 445-461.
§ 499. В силу изложенного в §§ 180 и 231а взаимосвязь между (5i) и (9i)
сводится к тому, что если исключить пару равновесных решений x(t) -
±3_1/i, y(t) =0 (§ 494), то решения х - = x(t), у ~ y(t) уравнений (5i),
соответствующие фиксирован^ ному значению постоянной энергии (52),
эквивалентны в силу (7) и (92) тем решениям ? = т] = ц(i) уравнений (9i),
которые удовлетворяют инвариантному соотношению (8t). Другими словами,
вместо того чтобы рассматривать четырехмерное пространство (|, т), g,
т)), т. е. фазовое (в указанном в § 16 смысле) пространство, можно
рассматривать трехмерную изоэнергетиче-скую гиперповерхность F = Fc,
соответствующую фиксированному значению С. Эта поверхность определяется в
указанном фазовом пространстве уравнением (81) или (если учесть (82))
уравнением
?2 + Л2 + 4(^ + Т12){С-3(^_т12)2} =8. (11)
Поскольку параболическое отображение (7) таково, что точки (L Л) и (-Si -
л) соответствуют одной и той же точке (х, у), при определении "точек"
гиперповерхности Fc подразумевается, что если (?, т), ?, г]) - точка на
Fc, то координаты (-- т), - ?, -г]) соответствуют той же самой точке
поверхности Fc.
Так как начальные значения скоростей могут быть выбраны произвольно, то
из (7) видно, что изоэнергетическое трехмерное множество Fc в
четырехмерном пространстве (?, т], л) состоит из такого же числа не
связанных друг с другом частей (компонент), как и двумерная область (х,
у), обозначавшаяся в § 496 через Рл, где h = -V2 С.
§ 500. Предположим, что рассматривается случай 3,/з < С < +°°,
соответствующий рис. 15, а. Обозначим через Fc* ту из трех компо-
470
ГЛАВА VI. ВВЕДЕНИЕ В ОГРАНИЧЕННУЮ ЗАДАЧУ
нент Fc, которая имеет астрономическое значение в указанном в § 497
смысле. Тогда множество возможных изоэнергетических состояний (I, т), ?,
г]) движения, представляемых точками Fc*, топологически эквивалентны
трехмерному (вещественному) проективному пространству.
Для того чтобы это доказать, заметим прежде всего, что при всех С > 34/з
топологическая структура Fc* остается одной и той же. Это сразу вытекает
или из соответствующего замечания, сде-
З3 -
ланного в § 472 по поводу критического значения ^УЗ (§§ 495-
496) постоянной -h = lhC, или же более непосредственно из анализа ранга
матрицы частных производных (И). Таким образом, можно считать, что
фиксированное С не только больше 34/з, но равно большому положительному
числу. Но тогда применимо последнее замечание, сделанное в § 497, из
которого в силу (7) вытекает, что множество тех точек плоскости (§, ц),
для которых точка (?, г], ?, т)) четырехмерного пространства принадлежит
при подходящих (?, г]) трехмерному многообразию Fc*, представляет собой
односвязную область, приближенно совпадающую с небольшим кругом |2 + т]2
^ 2С~1(-"-0) вокруг начала координат на плоскости (?, т]). Таким образом,
если С - большое положительное число, то |?[ и |т|| равномерно малы для
всех точек Fc*, а поэтому выражение { } в (11) превосходит на Fc*
положитель-
ный нижний предел. Следовательно, полагая
o=2UC-3(i2-T,2m 1 {12)
Предыдущая << 1 .. 168 169 170 171 172 173 < 174 > 175 176 177 178 179 180 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed