Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
(22), а в § 375 было доказано, что тогда векторы ?,°,. .., ?п° определяют
центральную конфигурацию масс Wi, ¦ • ¦ , tfln ¦
Для доказательства того, что эти необходимые условия являются также и
достаточными, требуется лишь показать, что если эти условия
удовлетворяются, то функции (0, • • • * ?п(0, определяемые согласно (23),
являются решениями задачи п тел. Действительно, очевидно, что если
функции ?, (t) имеют вид (23), то эти функции или представляют некоторое
томографическое решение, или же вовсе не являются решением задачи п тел.
Однако условия, налагаемые на ?,°, таковы, что существует скаляр о, для
которого
]°
й°~'
(26,)
(26,)
(26.)
т. е. что о обязательно равно (см. § 355)
Таким образом, в силу (26i)
Uii =
Так как (Зз) вытекает из (23), то уравнения движения
сводятся к следующим:
г2Q-% = - т°?.
Следовательно, остается лишь показать, что последние уравнения обращаются
в тождество по t в силу (23) и (22).
§§ 375-382. ТОМОГРАФИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
365
С этой целью предположим, что г = r{t), <р = q>(t) - некоторая заданная
пара функций, имеющих непрерывные вторые производные.
Пусть Я = Я (2) определяется с помощью <р = <р(?) как 3-матрица,
выражаемая согласно (23j). Наконец, пусть 3-матрица К = K(i) определяется
с помощью г = r(t), <р = <p(i) по формуле (9). Тогда путем
непосредственного дифференцирования и умножения матриц легко показать,
что произведение т^Я-1 на (гЯ)/7 совпадает с К. Так как из (23) вытекает,
что
?" = (гЯ)"^,
то соотношение
(tm)-% =Kg;
представляет собой тождество (по t). Следовательно, остается лишь
показать, что соотношение
КЬ°~-т0Ь°
представляет собой тождество по t в силу (22). Однако в справедливости
этого факта мы убедились еще в конце § 375, так как
рассмотренный там постоянный вектор тщ1 и\ совпадает, как
было показано, с постоянным вектором -т°?*°. Этим самым завершается
доказательство утверждения, сформулированного в начале этого параграфа.
§ 377а. Таким образом, для того чтобы решение задачи п тел было
томографическим, не только необходимо (см. § 375), но, как видно из
доказательства, приведенного в § 377, также и достаточно, чтобы тела rrii
образовывали при любых t одну и ту же центральную конфигурацию.
§ 378. Все томографические решения при заданных массах тп, можно теперь
построить следующим образом.
Выберем произвольную центральную конфигурацию |i°, ..., ?п° масс
77ii,..., пгп и определим три положительных числа по формулам (26i) -
(263). Так как векторы pgi°,... , Р|я° определяют при любом Р > 0 ту же
самую центральную конфигурацию, что и |i°,..., |п° *), и соответствуют
согласно (26г) - (263) числам
*) В указанном в конце § 355 смысле. Заметим, что если существует
континуум различных центральных конфигураций для заданных масс (см. §
365), то могло бы случиться, что расположение масс в некотором решении
отвечает при любом t центральной конфигурации, но такое решение не
является томографическим, так как эта конфигурация изменяется вместе с г.
366
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
р27° и Р_12У°, то, учитывая (26j), можно предположить, что данная
центральная конфигурация именно такая, которая удовлетворяет условию т? -
1, указанному в конце § 376. Тогда решения
x=x(t), У = У(0 (27)
или
r = r(t), Ф = Ф (t)
лагранжевых уравнений (22), соответствующих функции Лагранжа (25),
совпадают с теми, которые рассматривались в § 241.
Выберем для решения этих уравнений четыре начальные значения г°, ф°, г70,
ф'°, задаваемые при t =¦ t° таким образом, что г°, Фп и знак ф/0
определяются согласно (24i) - (243). Тогда, полагая t - t° и используя
интегралы (214) - (212) уравнений (22) нри т° - 1, получим, что г'0 и ф'°
определяются из формул
{Ю2 + }(Ф'°)2-1 = А", (280
ф'° = | С° |, (282)
где А° и | С° | равны (в указанном в § 241 смысле) энергии и
кинетическому моменту для траектории (27) на плоскости (х, у). Таким
образом, постоянные А0, |С°|, определяемые согласно (280 - (28г),
совпадают с постоянными, обозначавшимися в § 241 через А, с, причем с
можно выбирать без потери общности так (см. § 242), что с = | с | ^ 0.
Поскольку начальные значения Л ф'° ^ 0 можно выбирать произвольно, то из
(280 - (282) видно, что при | С°| ^ 0 возможны все три случая: А0 > 0, А0
< 0 или А0 - 0.
Из изложенного в § 242 видно, что если постоянная (28г) выбрана равной
нулю, то тогда (и только тогда) траектория (27) на
плоскости (х, у) есть прямая (соответствующая вырожденному
гиперболическому, параболическому или эллиптическому движению в
зависимости от того, имеем мы А0 > 0, А0 = 0 или А° < 0). Если же
постоянная (28г) отлична от нуля, то траектория (27) представляет собой
ветвь гиперболы, параболы или эллипс в зависимости от выбора А0 = 0.
Наконец, результаты, изложенные в § 377, гарантируют, что во всех шести
случаях |С°| ^ 0, А0 Щ 0 подстановка (27) в (23) дает нам томографическое
решение =¦ = %i(t) уравнений
rriili = Ui{
задачи п тел ..., тпп. В соответствии с (20г) постоянная энергия А для
