Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
(-1)4-*! -Хг, /=1,2, (20t)
Vi /72о
- = -, v! + v2=l. (20г)
v2 mi
Следовательно, (12) и (16) сводятся к
P" = |*l|, Pi3 = |^2-(-l)'v^1|, (210
¦Xj == PjA + Pj2X2, (212)
если только использовать (190 и обозначить /_т1 + т,_тЛ,"Л1_
/Pll Pl2 \ _
\Pai Р22)
-3------¦ 7И32° -^ т3Х,°--з
Р 12 Pj33 Р j3
МхМ^т3Хй LD-i -М2-'т3Ъ0^-
\ Р J3 Р J3
(22)
где
E°czj = ai + a2
в соответствии с (30- Таким образом, согласно (153) и (150
MtiXiXXl) +М2(ХгХХ'2) = С: (230
+ (232)
а в силу (22) и соотношения (70 § 315
Ш±Ш2 ( 7721 Т7&2
и =--------------\- тп3
Pl2 ' Pl3 Р23
¦), (240
-^-J" = 2h + U. (24а)
di
Нет необходимости говорить, что (212) - (22) совпадают в силу (190-(210 с
(15z)-(16) § 343а.
Применяя (100 и (11) к рассматриваемому случаю п - 3 и используя (202),
увидим, что если решение Zj = Zi(0, Х2 = = Xz(t) уравнений (212)
известно, то соответствующее решение задачи трех тел в барицентрических
инерциальных координатах li дается формулами
h - -V1X1 - \L~lm3Xz, I2 = v2Xi - и,-1тга3Х2, j ^5)
Ез = (1 - p_1m3)X2 ((1 = 1,т{). )
Бее три траектории Е = Ei (t) тел пц, а также две траектории
l = X-j(t) гипотетических двух тел (190 рассматриваются как траектории в
пространстве Е = (Е1, Еп, Еш) ¦
§§ 383-389. ИСКЛЮЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС
383
§ 388. Можно говорить в этом смысле о тангенциальной плоскости для
траектории Mj, j - 1, 2, проходящей через центр масс при заданном t, т.
е. о плоскости П3( в пространстве ?, проходящей через | = 0 и касающейся
траектории Mj при заданном t. Таким образом, П3' есть плоскость в
пространстве ?, имеющая уравнение
(ВД XX/(О)¦? = ().
Разумеется, если
Xj(t) X x/(t) = о,
то плоскость П34 не существует.
Умножая (23i) при заданном t на произвольное ?, увидим, что является
линейной комбинацией двух произведений
(Xj(t) X Х/(Ш / = 1.2.
Следовательно, линия пересечения двух плоскостей П/ (если они
пересекаются), соответствующих одному и тому же t, лежит в неизменяемой
плоскости С \ = 0. Если П/, / = 1, 2, пересекаются, то решение = ?,-(?)
не является, конечно, в силу (25) плоским в указанном в § 324 смысле, так
что в соответствии с § 326 неизменяемая плоскость должна существовать.
Следовательно, постоянные интегрирования для решения = \i(t) задачи трех
тел являются такими, что для всех t, за исключением, может быть,
изолированных значений t,
I) обе плоскости П37 существуют;
II) эти плоскости не параллельны одна другой, так что С ф 0 и две
плоскости П/ пересекаются вдоль прямой №, вращающейся*) вокруг центра
масс и лежащей в неизменяемой плоскости.
§ 388а. Остается выделить все те частные решения ?,• = (t)
задачи трех тел, для которых условия (I) - (II) § 388 существования
прямой N' не удовлетворяются. Из (25) видно, что условие (I) не
удовлетворяется в случае равнобедренных решений, рассмотренных в § 346, а
также в случае прямолинейных решений (см. § 327). Аналогичным образом из
(25) следует, что условие (II) не удовлетворяется для любого плоского
решения (см. § 324) и также для пространственных равнобедренных решений
(г) - (ii) § 346. Остается неизвестным, встречаются ли еще
*) Прямая N* не обязательно зависит фактически от г. В частности, весьма
трудной представляется проблема определения всех частных решений задачи
трех тел, удовлетворяющих условиям (I) и (II) и обладающих фиксированной
прямой N1. Как можно судить по известным до сих пор данным, такие
решения, возможно, не существуют. Эта проблема связана с вопросом,
поднимаемым ниже в § 436.
384
ГЛАВА V. ЗАДАЛА МНОГИХ TEJt
другие отличные от равнобедренных неплоские частные решения, для которых
условие (II) не имеет места.
Таким образом, прямая N( не существует в случае любого плоского решения и
в обоих случаях (i)- (ii) § 346 неплоского равнобедренного решения.
Однако остается открытым вопрос о существовании еще других решений, для
которых прямая № не существует.
§ 389. Уравнения общей задачи трех тел в виде (212) весьма удобны при
рассмотрении равнобедренных решений. В §§ 345- 347 эти решения были
рассмотрены лишь в предположении, что т 1 =¦ т2*). В конце § 344 было
упомянуто, что это предположение является, по существу, следствием
определения (см. § 344) равнобедренного решения**). В настоящее время
имеется лишь одно доказательство этого факта, причем это доказательство
слишком длинное, чтобы можно было его здесь воспроизвести. Вместе с тем
самая идея доказательства достаточно простая. Для ее изложения рассмотрим
некоторые вспомогательные соотношения.
Предположим, что данное решение = !i(f) задачи трех тел при произвольных
массах mi, тг, т3 таково, что р1з = ргз при любом I. Тогда, возводя обе
части соотношения (21i) в квадрат, найдем
2ХгХ2=(п - Vi)Xi, (26i)
P"=Xi*, (26j)
pja = Хг + viV2X,2, / = 1, 2. (263)
Кроме того, исходя из (22) и (203), (19i), получим, что mi + пъ. т3 р
Рч= -----------------j-, Ргг =--------:-, (27Д
рL pJ
12 v 13 v 13
Pi2 = 0 = p2ii (272)
*) При этом условии формулы (19г) сводятся к следующим:
