Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
определяется согласно (13i) § 72, где <p'='<p'(f) обозначает угловую
скорость вращающейся системы координат х = ?2-1?. Следовательно, легко на
основании (5i) установить, что = (/|i)2 + (гф'|°)2
и что компоненты 3-вектора & X ?/ равны в силу (1) 0, 0, ф/(г?>°)
соответственно. Поэтому в соответствии с (3i), где 1 - hrriili2, можно
записать "выражение для кинетической энергии Т и интеграл
S X h = С
в виде
^^(Z' + zV2)/0, (81)
ф'г2/0 = | С | (7° > 0), (82)
если выбрать знак в (6) § 323 так, что ф' ^ 0. Наконец, так как st =0, s2
= 0, S3 =¦ ф' (см. § 72), то, подставляя (4i) - (4г) в (62), получим
'г2 (г" - гф'2) - г2 (гф" + 2/ф')
К (0 = К = | г2 (гф" + 2/ф') г2 (г* - Гф'2) 0 | ¦ (9)
0 0
350
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
Ниже мы не будем исключать пространственные томографические решения, так
что применимы лишь формулы (1) - (7г), но не (81) - (9). Но и в этом
общем случае соотношение J" = = 2 U эквивалентное интегралу
энергии Т - U - А, мо-
жет быть записано в силу (3i) - (З2) в виде
(rr" + r'2)J° - r-iU° = 2h (/°> 0, U°> 0). (10)
§ 370а. Имеется два предельных типа томографических решений. С) одной
стороны, возможно, что конфигурация расширяется без вращения, т. е. что
Q(t) = Е. Такие частные томографические решения характеризуются в силу
(1) равенствами
& = г&, т. е. (Q(l) = Е, г - r(t) > 0) (11)
и называются гомотетическими.
С другой стороны, возможно, что конфигурация вращается без растяжения, т.
е. что r(t) = 1. Эти частные решения характеризуются в силу (1)
равенствами
Ь = ЙБ!, т. е. (r(t) = 1, Q = Q(i)) (12)
и их мы назовем решениями относительного равновесия. Такое название
оправдывается тем, что в случае равенств (12) и только в этом случае
каждое из п тел находится в покое во вращающейся барицентрической системе
координат х (т. е. x{(t) - =• const). Это возможно только тогда, когда
силы притяжения, действующие между телами, в любой момент t находятся в
полном равновесии с силами (фиктивными) (см. § 318а), наличие которых
вызывается вращением системы координат х.
Очевидно, что решение относительного равновесия не может быть
гомотетическим. Томографическое же решение общего вида не удовлетворяет
ни (11), ни (12). Для указанных двух типов решений имеют место следующие
факты (которые будут доказаны в § 377).
I. Томографическое решение является гомотетическим тогда п только тогда,
когда оно обладает инвариантной плоскостью (т. е. тогда и только тогда,
когда С = 0).
II. Томографическое решение является решением относительного равновесия
тогда и только тогда, когда оно плоское и вращается с постоянной угловой
скоростью (=/=0).
В соответствии с I и §§ 329-331 каждое коллинеарное, но не прямолинейное
решение является томографическим, но не гомотетическим. В то же время
гомотетические коллинеарные решения совпадают с теми прямолинейными
решениями, которые являются томографическими. Очевидно, что коллинеарное
решение
§§ 369-374. ТОМОГРАФИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
351
моШбт быть решением относительного равновесия только тогда, когда оно не
прямолинейное (это условие необходимое, но в силу II не достаточное).
§ 371. Мы докажем в §§ 373-374 следующие факты, более глубокие, чем I-II
§ 370а
(г) если томографическое решение не компланарное (см. определение в §
325), то оно является гомотетическим;
(ii) если томографическое решение является компланарным, то оно плоское
(см. определение в § 324).
Утверждение (г) не допускает обращения, так как существуют плоские (и
даже прямолинейные) гомотетические решения. Если учесть (И), то можно
сказать, что каждое томографическое решение является либо плоским, либо
гомотетическим, но не может быть одновременно плоским и гомотетическим.
Если томографическое решение не плоское, то условия (г) -
(ii) гарантируют справедливость (11). Выражение для кинетической энергии
Т = VzEtfiigi'2 сводится тогда к следующему:
^ 2 rrn(r'li)2 ^ Y'2P.
Так как (8i) имеет место в плоском случае, а (32) в любом случае, то
интеграл энергии Т - U = h для любого томографического решения можно
записать в виде
- (г'2 + /V2)/0 - r~lU°= ft, (13)
2
"ели производная ф' = <p'(t), определенная как угловая скорость
вращающейся системы координат х = Q-1? в плоском случае, считается равной
q>'(t) = 0 в неплоском случае. В этом смысле (82) остается верным также и
в неплоском случае, так как в силу I 11 (0 - (") имеем С - 0. Наконец, из
(62) видно, что формула (9) справедлива при ф' = 0, если 2 = 0 при любом
t, т. е. если (см. § 69) Q(t) = const. Так как в неплоском случае условие
fl(f) = const согласно (t) - (ii) удовлетворяется, то (9) имеет место в
этом случае опять при ф' = 0.
§ 372. Цель этого параграфа - показать, что I-II вытекают из условий (г)
- (ii), которые будут доказаны в двух последующих параграфах.
Если гомотетическое решение является плоьим, то применима формула (82), и
она показывает, что С = 0 тогда и только тогда, когда ф'(0 = 0, a r(t) =
const (>0) тогда и только тогда, когда ф'(t) = const ф 0 ф |С|. Этим
