Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
самым доказывается I-II для плоского случая. Если томографическое решение
неплоское,
352
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
то оно согласно (i) - (ii) является гомотетическим и не может быть,
конечно (см. § 370а), решением относительного равновесия. Этим самым
доказывается II. Вместе с тем для завершения доказательства I достаточно
теперь доказать, что для любого неплоского томографического решения С =
0. Однако и для плоского и для неплоского томографического решения ?* =
%%(t) каждый член суммы
С = 2 X й
обращается в нуль при любом t, так как ? X ? = 0, a \i = г?,-°, li' = г%°
в силу (11).
§ 373. Цель этого параграфа - доказать (г) § 371. Пусть ?,¦ = = li(t) -
заданное некомпланарное томографическое решение. Тогда не все п начальных
позиционных векторов компланарны, и можно выбрать три значения индекса i,
например i -• а, р, Y, такие, что det (?а°, ?р°, lv°) Ф °-
Следовательно, 3-матрица (?а°, ?р°, ?у°) , не зависящая от t,
имеет обратную матрицу. Применение же (6Ц при i = а, р, у по-
казывает, что матрица K(f) равна произведению этой обратной матрицы и
матрицы (аа, ар, ау), которая в силу определения а,-(см. § 370а) также не
зависит от t. Поэтому на основании (7Ц - (7г) получим
rV'E -f- г3!,2 = const, (14i)
г3!!' + 2rV2 - const. (14г)
Так как Е - единичная матрица, то rV'E - диагональная матрица, причем все
ее элементы равны между собой. Следовательно, из (14Ц вытекает, что, во-
первых, недиагональные элементы матрицы г3!!2, а во-вторых, и разности
между любыми ортогональными элементами этой матрицы не зависят от t. Если
сопоставить этот результат с (4г), то он показывает, что величины t^ShSv
и г3(s^2 - sv2), где (ц, v) = (1,2), (2,3), (3,1), не зависят от t.
Следовательно, t^sj2, Л. = 1, 2, 3, не зависят от t. Но из (14Ц вытекает
тогда, что зависимость 2 и г от времени t такова, что 2 = г~а'22о, где 20
- постоянная кососимметрическая матрица. Таким образом, существует такая
постоянная ортогональная матрица Ро, что произведение Ро2оРо*
представляет собой кососимметрическую 3-матрицу, в которой все элементы
третьей строки равны нулю (см. начало § 76). Так как 2 = г~э/г20, где г -
= r(t) -скаляр, и 2 =2(Ц, то все элементы третьей строки
кососимметрической матрицы Ро2 Ц) Р д1 равны нулю при любом t. Поэтому из
сказанного в § 74 следует, что матрица Я = Я(?)
§§ 369-374. ТОМОГРАФИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
353
осуществляет вращение вокруг оси, сохраняющей постоянное направление по
отношению к барицентрической инерциальной системе координат (I1, |п, ?ш).
Следовательно, из § 318 видно, что эта ось может быть выбрана в качестве
координатной оси ?ш. Тогда матрица Q = Q(?) запишется в виде (13t) § 72,
и согласно (133) § 72 имеем si = 0, s2 = 0, s3 = <р', где ф' = ф'(?)-
скорость вращения. Следовательно, доказательство утверждения (г) § 371
будет закончено, если покажем, что q/(?) = 0. Действительно, тогда
вращения нет, и это означает согласно определению в § 270а, что решение
является гомотетическим.
Для доказательства того, что ср' (t) = 0, мы используем соотношение т^ф'2
= const, которое в силу (13г) § 72 эквивалентно упомянутому выше
результату о независимости величин г3**2, л = 1, 2, 3 от t.
Так как ?2 = ?2(?) определяется согласно (13i) § 72, то можно переписать
(1) § 370 в виде
ii = r (I?1 cos ф - ?ш sin ф),
i"= г (g" sin ф + if1 cos ф),
"ш "ош
ii = rli ,
где
(ii,i",i"1) = ii(t), iT = il(t°) = const.
Следовательно, третье из соотношений (5) § 322 сводится сразу к
следующему:
Сш=гкр'с, (143)
где через с обозначена постоянная
Таким образом, если с = 0, то все = 0 и все g0?1 = 0 и, таким образом,
все п тел nii находятся при любом t на оси |ш. Так как это противоречит
предположению о том, что данное решение = li(t) не является компланарным,
то с =f= 0.
Следовательно, соотношение (143) можно разделить на с и из него вытекает,
что т^ф' = const. Сравнивая это равенство с равенством г3ф'2 = const,
найденным выше, видим, что или ф' = 0, или же положительная функция г =
r(t) не зависит от t.
Таким образом, доказательство условия ф'(?) =0 будет закончено, если мы
покажем, что предположение г - const, ведет к противоречию.
23 А. Уинтнер
354
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
Если г = const, то формула (62) сводится к следующей: К^гДХ' + Е2),
причем
det(X' + X2) = 0,
так как si = 0, s2 = 0 и все элементы третьего столбца одной из матриц
(4i) - (43) равны тождественно нулю. Тогда det К = 0. Вместе с тем раньше
было показано (см. (14i) - (142)), что К равно произведению двух
постоянных матриц с отличными от нуля определителями, откуда det К ^ 0.
Мы приходим к противоречию, что и требовалось показать.
§ 373а. У читателя может сложиться впечатление, что такое сложное
доказательство утверждения (i) § 371 не является необходимым и что
утверждение, как чувствуется интуитивно, вытекает непосредственно уже из
факта постоянства кинетического момента.
Одпако это не так. Действительно, в таком случае утверждение (?) § 371
