Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
было бы справедливым также и в случае притяжения, обратно
пропорционального не второй, а третьей степени расстояния. Но тогда
выражение г2! } в (62) надо было бы заменить на гЦ }, а соотношение
г3ср'2 = const, найденное в § 373, на соотношение гкр'г - const.
Последнее же эквивалентно условию = const, полученному в § 373 в качестве
следствия постоянства кинетического момента. Таким образом, мы получим
лишь одно соотношение между г и <р', и доказательство рушится. Кроме
того, само утверждение (?) в этом случае неверно. Другими словами, задача
п ^ 4 тел, притягивающих с силой, обратно пропорциональной кубу
расстояния, обладает некомпланарными решениями, являющимися
гомотетическими, но не томографическими. Например, к такому решению мы
сразу придем, используя в случае двух конгруэнтных пар, выбранных среди
четырех масс, начальные положения и начальные скорости, вычисленные (эти
вычисления приведены в § 374а) для треугольных решений задачи трех тел.
§ 374. Цель этого параграфа - доказать утверждение (it) § 371. Для
коллинеарного случая это утверждение было уже доказано в § 329. Пусть
теперь = ?" (t) - заданное томографическое компланарное, но не
коллинеарное решение. Тогда среди начальных векторов ?i° существуют по
крайней мере, два вектора, например ?а° и ?р°, такие, что |а° X ?р° =/=
0. Так как решение компланарное, то все п начальных векторов лежат в
одной и той же плоскости, проходящей через начало инерциальной
барицентри-
356
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
Непосредственная подстановка показывает, что (172) сводится в силу (18) к
соотношениям
1
s3rci - -r,C2 - О,
1
-r/ci + s3rc2= 0.
Эти соотношения представляют собой однородные линейные уравнения, которым
удовлетворяют cj, с2. Определитель этих уравнений равен
sir2 + у г'2,
4
причем г > 0. Так как эта сумма может обратиться в нуль лишь в случае s3
= 0, г' = 0, то при условии, что хотя бы одна из постоянных ci, с2
отлична от нуля, обе функции s3 и г' должны обращаться тождественно в
нуль при всех t. Другими словами, должна удовлетворяться по крайней мере
одна из двух пар условий
ci = 0, сг = 0, (19Д
s3(?)e= 0, r(t) = const. (192)
В случае (19t) обе функции st, s2 равны в силу (18) нулю при любом t. Это
означает (см. § 72), что вращение fl(t) происходит при любом t вокруг оси
|1П инерциальной системы координат. Следовательно, из (1) видно, что все
?jn(f) = 0 при любом t. Другими словами, все тела пц движутся в плоскости
(I1, I11) инерциальной системы координат. Это доказывает утверждение (ii)
§ 371 для первого из двух возможных случаев (19i) - (192).
В случае (192) из (18) видно, что все три функции si, sz, s3 не зависят
от i, причем s3 = 0. Но тогда § 75 показывает, что вращение Q = Q(t)
происходит вокруг оси, сохраняющей постоянное направление по отношению к
инерциальной системе координат | = (I1, |п, |ш). Кроме того, так как s3 =
0, то эта фиксированная ось вращения должна лежать в плоскости (I1, ?п)
(см. доказательства в §§ 71-75). Однако ось |ш была выбрана так, что
все gj(tm) = gjm(f<>) равны нулю. Следовательно, из (1) видно,
что вращающаяся система координат х = Я^, где ?2 - fi(f) фактически не
может вращаться вокруг неподвижной оси, лежащей в плоскости (I1, |п).
Таким образом, никакого вращения нет, т. е. fi(f) = const. Это означает,
что рассматриваемое томографическое решение является гомотетическим. Так
как очевидно, что компланарное гомотетическое решение является плоским,
то от-
§§ 300-374. ТОМОГРАФИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
357
сюда следует справедливость (ii) § 371 во втором из возможных случаев
(19t) - (19г).
Все утверждения, приведенные в §§ 370а - 371, доказаны.
§ 374а. Читатель может подумать, что приведенное выше доказательство
излишне сложное. Действительно, представляется на первый взгляд довольно
очевидным, что утверждение (ii) § 371 ость непосредственное следствие
однородности силовой функции U в комбинации с фактом постоянства
кинетического момента центра масс (см. §§ 316-317).
Однако фактически это не так. Действительно, мы покажем, что если сила
притяжения пропорциональна не второй, а третьей степени расстояния, то
утверждение (ii) § 371 оказывается неверным даже в случае трех тел, хотя
десять интегралов имеются также и в этом случае. Не удивительно, что
Лагранж считал основным достижением теории томографических решений задачи
трех тел доказательство того факта, что каждое томографическое решение
является плоским (конечно, в этом случае каждое решение является
компланарным).
Предполагая, что сила притяжения между тремя телами пропорциональна
третьей степени расстояния, имеем, что
где скаляры ri{, ?t- - "инерциальные" барицентрические прямоугольные
координаты тел гтц. Суммирование в (II) распространяется на три
циклические перестановки индексов (;, к) = (1,2), а выбор единиц
благодаря множителю '/г таков, что сила притяжения между двумя телами с
массами, равными 1, и на расстоянии, равном 1, сама равна 1. Пусть массы
