Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
этого решения имеет тот же знак, что и постоянная
§§ 375-382. ТОМОГРАФИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
367
энергии (28i). Сравнение же (20з) с (?) § 370а показывает, что решение
будет гомотетическим тогда и только тогда, когда постоянная (282) равна
нулю.
Отсюда вытекает, в частности, что для каждой центральной конфигурации
масс т,\,..., пгп существуют гомотетические решения с всевозможными
значениями h Щ 0. Заметим, что для существования при любых mi,..., тпп
прямой U, сохраняющей неизменное положение по отношению к инерциальной
системе координат ?, и на которой находятся при любом t все массы тщ, т.
е. для гомотетичности томографического решения (23)., необходимо и
достаточно в силу (212) и (i) § 370а, чтобы траектория (27) на плоскости
(х, у) была прямолинейной. Вместе с тем заметим, что для прямолинейности
последней траектории не необходимо (хотя, конечно, достаточно), чтобы
траектория каждого тела тщ в отдельности была прямолинейной.
Действительно, можно выбрать постоянную (282) отличной от нуля и тогда,
когда данная центральная конфигурация ?i°..........|п° коллинеарна в
указанном в
§ 355 смысле. Возможность построения простейшего такого примера вытекает
из излагаемого ниже в § 378а.
С другой стороны, траектория (27) достигнет на плоскости (х, у) начала
координат г = 0 при некотором t тогда и только тогда, когда постоянная
(282) равна нулю. Поэтому из (23) вытекает для томографического решения
отсутствие инвариантной плоскости, т. е. условие С - 0 является не только
необходимым (см. § 335), но достаточным условием для одновременного
столкновения всех п тел. Конечно, интересный результат, изложенный в §§
363-364, является в этом частном случае одновременного столкновения
тривиальным. В этом случае не возникает также проблема, упоминавшаяся в §
368.
Наконец, пусть постоянная (28г) выбрана отличной от нуля. Гогда <р' ^ 0 в
силу (212), так что томографическое решение (23) является в силу
изложенного в § 371 обязательно плоским. В частности, тогда центральная
конфигурация ?i°,.. ., ?п° является компланарной в указанном в § 355
смысле, причем не исключены коллинеарные конфигурации. Так как |С°| ф 0,
то из (4) § 241 вытекает, что траектория (27) на плоскости (х, у)
является эллипсом или гиперболой с большой осью
1
2а =------- 2S0
h°
и эксцентриситетом
е = (1 + 2А°|С0|2)^ 1,
если h° ^ 0. Если же h° - 0, то эта траектория представляет собой
параболу с параметром р = |С°|2 0. Во всех трех случаях
368
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
фокус находится в начале координат (х, у) = (0, 0). Так как г'°, ф'° (>
0) могут быть выбраны в (28j)- (28г) произвольно, то и А.0, |С°| (> 0), а
вместе с тем и 2а(=й=0), е(=^= 1) или р{?= 0) могут быть также
произвольными. Подстановка же (27) в (23) показывает, что во всех трех
случаях h° > 0, h° - 0, А0 < 0 все п тел
движутся по компланарным и подобным коническим сечениям, расположенным в
плоскости (I1, I11) барицентрической инерциальной системы координат и
имеющим общий фокус в начале координат. Рис. 13 иллюстрирует этот
результат для случая треугольной центральной конфигурации в задаче трех
тел тi, тг, т3 при h° < 0 (см. § 367).
Все п конических сечений будут окружностями тогда и только тогда, когда е
= 0, т. е. когда 1 -f- h° | С012 = 0. Это условие эквивалентно в силу
(28i) - (28г) условию г'0 = 0 или же (покскольку t° можно выбрать
произвольно) / (t) = 0. Другими словами, плоское томографическое решение
(23) удовлетворяет условию r(t) = const, характеризующему решение
относительного равновесия, тогда и только тогда, когда все п траекторий в
инерциальной плоскости (g1, gn) суть концентрические окружности вокруг
центра масс 1 = 0. Однако, как мы видели выше, постоянные h° и |С°| могут
быть выбраны произвольно для любого томографического, но не
гомотетического решения, так что условие 1 -f- h°\С°|2 = 0 может быть
удовлетворено в случае любой компланарной центральной конфигурации. Кроме
того, все решения относительного равновесия являются в силу (II)
§ 370а плоскими. Следовательно, любой компланарной и некомпланарной
конфигурации соответствует некоторое решение относительного равновесия.
§ 378а. Изложенные выше результаты применимы, в частности, к любому
решению задачи двух тел. Действительно, конфигурация, образованная двумя
произвольными массами, всегда представляет собой согласно изложенному в §
359 центральную конфигурацию. Поэтому в соответствии с § 377а любое
решение ti = gi(i), ='?2(0 задачи двух тел является гомотетическим. По
существу этот результат вытекает также из барицентрического условия migi
-f- т3|г = 0. Тот факт, что любое решение задачи
Рис. 13.
§§ 375-382. ТОМОГРАФИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 369
двух тел является плоским, вытекает не только из § 257 и (13)
§ 343, но также из § 329 (и, наконец, из (гг) § 371).
§ 379. Рассмотрим плоскую задачу п тел безотносительно к каким-либо
гомотетическим решениям. Лагранжева функция L = ~ Т -f- U в этой задаче
имеет вид
