Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
оставляют открытым вопрос о существовании таких решений. В соответствии с
изложенным в § 369 любое такое решение, если оно существуег,
определяется, с одной стороны, парой функций r(t), fi(t) и, с другой
стороны, п начальными позиционными векторами ?i°.
С целью подготовки к анализу вопроса о существовании покажем, что векторы
?j° должны соответствовать центральной конфигурации заданных масс пц.
Этот результат, учитывая § 355 и (1) § 370, можно сформулировать и так,
что если решение gi = %i{t) задачи п тел rrii является томографическим,
то должны образовывать при любом t центральную конфигурацию.
Если решение плоское, то будем выбирать инерциальную систему координат g
всегда так, что траектории лежат в плоскости
§8 375-382. ТОМОГРАФИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 361
gin = о. Через ф' = ф'(?) ^ 0 будем обозначать угловую скорость
вращающейся плоскости (г1, г11), причем х - Если
решение неплоское, то пусть ф' (t) = 0. Тогда, как было показано в конце
§ 371, все формулы, приведенные в §§ 370-371, справедливы в обоих
случаях. Таким образом, если постоянные т°, Л°, С0 определяются по
формулам
и°
*1° = -, (200 = (20г)
С°=-?-(Н°>0,/°>0), (20*)
т о согласно (13) и (80
1 ти
_(г'2 + г!ф'2)-- = А", (210
гЧр' = |С°|. (21а)
Так как из (200 - (200 видно, что (10) можно записать в виде
пг°
г'2 =г - гг" 0-------2 А",
г
то в соответствии с (210
Г"-Гф'2 = _^_°1 гф" + 2г'ф' = 0, (22)
Г2
поскольку
(Лр')'
п I__________________ v т 7
np -j- Zt ф =---------
И Лр' = const в силу (21г).
Так как at в (60 были определены соотношениями
ТО
W"-0 1 Г Т°
RE,- = т и%
а третьи компоненты 3-векторов Ej°, 17(r) обращаются в плоском случае в
нуль. Вместе с тем в соответствии с (9) и (22) 3-матрица К будет
диагональной, образованной элементами -т°, -т°,
362 ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
-т° -f- ^ф/2, а ф' = 0 в неплоском случае. Следовательно,
...о -1 ТТо
- mPli-mi иг.
как в плоском, так и в неплоском случае. Таким образом, условие
Ui.= am&i
для центральной конфигурации (§ 355) удовлетворяется при а - -пг°, если t
- fl. Так как начальный момент t° может быть выбран произвольно, то
доказательство закончено.
§ 376. Так как в неплоском случае ф' = 0, то условия (1) § 370,
характеризующие томографическое решение ?,¦ = ?i(f), можно записать не
только в плоском, но и в пространственном случае в виде
?. = rQ?°, (23)
где
г = г (L), Q == Q (L)
Следовательно, каждое томографическое решение определяется начальными
положениями ?i° и парой функций r(t), <p(t), которые можно подвергнуть в
силу (2j)- (22) и (212) тривиальной нормализации
г° = 1 (г = r(t) > 0), (24О
Ф° = 0, (24.)
ф'° 5* 0. (24з)
Свойства этой пары функции можно описать непосредственно следующим
образом.
Будем рассматривать г, ф как полярные координаты на декартовой плоскости
(х, у). Фиксируем далее произвольно положительное число пг° и рассмотрим
динамическую систему с двумя степенями свободы с лагранжевой функцией
1 , "°
§§ 375-382. ТОМОГРАФИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
303
Лагранжевы уравнения [L]x = 0, [L]y = 0 запишутся в виде
и они допускают вместе с интегралом энергии
1 , пг°
-(х 2 + у 2)------- = const
также интеграл
ху7 - ух' = const.
Однако, поскольку х = rcostp, у = rsin<p, эти интегралы совпадают с (21t)
- (21г), где h° = const, |С°| = const. Вместе с тем ив (250 видно, что
лагранжевы уравнения в полярных координатах [LJr = О, [L]ф = 0 (см. § 95)
совпадают именно с уравнениями (22).
Наконец, сравнивая (25) с формулами в § 241, виДим, что уравнения (25)
описывают движение материальной точки единичной массы на плоскости (х, у)
в статическом силовом поле, причем последнее можно рассматривать как
поле, создаваемое материальной точкой с массой т°, покоящейся в начале
координат (х, у) = = (0, 0), притягивающей движущуюся точку по закону
Ньютона, но само непритягиваемое ею. Другими словами, проблема
определения пары функций г(?), <р(?) совпадает с проблемой интегрирования
лагранжевых уравнений (22) или уравнений [L]x = 0, [L]y = 0, т. е.
совпадает, если положить тп0 = 1, с проблемой, рассмотренной в §§ 241-
273.
§ 377. Теперь нетрудно приступить к построению томографических решений.
Действительно, мы покажем, что решение gi = = gj(?) задачи п тел с
заданными массами тщ является томографическим тогда и только тогда, когда
существуют две функции г(?), <р(?) и п начальных позиционных векторов
gi°, с помощью которых функции gi (?),..., gn (?) представимы в виде
(23), (24i) - (24г). При этом можно выбрать в качестве г= г(?), ф = =
ф(?) любое решение лагранжевых уравнений (22), удовлетворяющее условиям
(24)) - (24z), а векторы gi°,..., gn° - соответствующими какой-либо
центральной конфигурации масс mi,. . ..., mn. Разумеется, постоянная т° в
(22) должна быть выражена
364
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
через rrii и ?j° в соответствии с (20,) - (20г) по формулам
В § 376 было уже доказано, что если решение ?,¦ = %i(t) является
томографическим, то функции r(f), cp(t) должны удовлетворять уравнениям
