Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
Фактически (92) и (62) показывают, что каждый из инерциальных
барицентрических импульсов пропорционален соответствующей скорости, но
что это несправедливо для гелиоцентрических импульсов. Этот факт обычно
интерпретируется следующим образом. Говорят, что хотя уравнение (9t)
принадлежит к оску-лирующему типу, но уравнения (8), получаемые после
исключения инвариантной системы (10i) - (Ю2), не принадлежат к такому
типу. Это же приводит к тому, что система (8) весьма неудобна для
практического использования в задачах, аналогичных задаче о движении в
солнечной системе,
§§ 383-389. ИСКЛЮЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС
379
Кроме того, тот факт, что квадратичная форма (2i) или (7i),
представляющая кинетическую энергию в гелиоцентрических координатах, не
имеет диагональной структуры, также может затруднить теоретические
исследования (см., в частности, §§ 415- 420). По этой причине мы заменим
теперь гелиоцентрические координаты Xj их линейными комбинациями 2°а^а:ь,
где неособенная постоянная (п-1)-матрица (ацt) зависит от ..., тп так,
что импульсы, канонически сопряженные с координатами Z°ajkXk, становятся
пропорциональными соответствующим скоростям 2°ajkXh', a (2i) или (7i)
преобразуются к диагональной форме.
§ 385. Будем подразумевать под барицентрической цепочкой, соответствующей
барицентрическим инерциальным позиционным
векторам . .. , тел mi, ¦ ¦ ¦, пгп, совокупность п - 1 3-векторов
Xj = ii+i - ( 2 )/( )> /'= 1, (11)
ft=i ' fc=i
так что Xj - позиционный вектор тела mj+i относительно центра масс / тел
mi, ..., nij. Если ввести обозначения
j
Pj=2m* (ро = 0), (12i)
fc=i
Mj-- (Л/о = 0), (122)
ЦЖ
то связь между Xj и гелиоцентрическими координатами Xj представляется
парой обратных друг относительно друга линейных подстановок *)
5
Xj = 2-j+l Pj 2 Tfth-Eh, (l^l)
ft=l
n-Z
Xj = mj Mj-iXj^i - 2 Pft lMhXk - Xn i, (132)
h=j
где / = 1, . . ., n - 1. Действительно, с одной стороны, из (li) ir (12i)
видно, что (13i) эквивалентно (11). С другой стороны, из
*) Разумеется, Xj+i = 0, если / = га - 1 (см. (8) § 341), и что первый
член в правой части (132) отсутствует, если / = 1 (см. (122)). Наконец,
вся правая часть в (132) равна нулю, если / = п - 1,
380 ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
(130 с учетом (12)) - (122) вытекает рекуррентная формула
Xj.Xj - Xj 771 j AI j -5 Xj-i.
Полагая в ней j - n -- 1, га - 2, ... и складывая последовательно
получающиеся соотношения, легко приходим к обращению (13г) подстановки
(13i).
Как легко установить, определитель линейной подстановки
(13i) равен (-1)"~1.
Обозначим (га-1)-матрицу линейной подстановки (132) через (rrijk), так
что в соответствии с обозначениями (3i)
Xj = I,0mjkXh.
В силу (13г) и (12i) -(12г) коэффициенты rrijk являются функциями одних
лишь масс rrii, .. . , тпп, и они удовлетворяют, как легко проверить,
тождествам
о ^ 2 ( 2 тт1к )
2 mimij/nih------------------------------¦-----------------------------=
Mjeik (14)
о n~\
s = s),
i=i
где (ejh) - единичная матрица и р = raij тп. Подстав-
ляя (13г), т. е.
Xj ^Af7ljkXk,
в (40, (20, (40 и используя во всех трех случаях тождество (14), легко
получим, что
/ = 2ВД2, (15П
Г = у2ВД'2, (150
2 °MjXjXX'j=C. (150
§ 386. Покажем, что барицентрическая цепочка (130 представляет
собой га - 1 таких линейных комбинаций га - 1 гелиоцент-
рических векторов Xj, что удовлетворяются требования, сформулированные в
конце § 384,
§§ 383-389. ИСКЛЮЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС
381
Действительно, подстановка (13г), где постоянные коэффициенты, зависящие
от масс, определяются формулами (12Д - (122), преобразует
гелиоцентрическую лагранжеву функцию /. - Т -f U (см. (2i) -(22), (1г)) в
лагранжеву функцию
L=T(X')+U{X),
которая выражается с помощью диагональной формы (15г) и функции U,
получаемой при подстановке (13г) в (12). Поэтому из § 95 следует, что
лагранжевы уравнения в переменных Xj имеют вид [Ljxj = 0 или (в
соответствии с (152))
MjX'j'= их., (16)
где U = V(X) в силу (22), (1г). Однако, полагая MjXj' - Yj, получим на
основании (152) - (15з), что
т=\2к'у?,
(17i)
%XjXYj = C, (172)
Yj = MjX(17") n уравнения (16) приобретают каноническую форму
Y'j = -Hx., Xj = HY(18)
где
н = Т - и ^ 1 2W У/- U(X).
'Заметим, что (18), (17з) отличаются от (9Д, (92) лишь тем, что га масс
nij заменены на га - 1 масс Mj, определенных согласно (12) - (12г), а га
барицентрических инерциальных координат заменены на барицентрическую
цепочку га - 1 координат Xj. В то же время барицентрическая инвариантная
для (9i) система (10i) - (Юг) исключена, и число степеней свободы для
уравнений (18) такое же, как и для (8), т. е. равно 3(га - 1).
§ 387. Положим, например, га - 3. Тогда формулы (124) - (122) сводятся к
следующим:
mim2 (гаг4 + тп2) тп3
1 ---- I ' 2 I 1 m ^ ^
7П\ 7712 ТП{ -р 772-2 "Т" 3
miXi + тплхг
Xf = Xz - Xit Х2- : (^г)
mi -j- /га2
382 ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
Подстановка (132), обратная по отношению к (19а), может быть записана в
виде
