Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
тел и начальные их положения таковы, что
где индекс "0" относится к моменту t - 0. Так как система координат (?,
т], ?) барицентрическая, то
mfr' = игтщ'-=ип., mg? = U^., (I)
i- 1*2, Зд
U = -Ъ'т}тк {(?, - Ы2 + (ТЪ' ~ Л*)2 + (Ci - С*)2}"1, (И)
гщ = тг,
(III)
?? = ?2° = Й=0, (IV)
3
3
(V)
t=i
358
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
И
3 3
2^Г=°1 2^=0
в силу (I). Условия (III) - (IV) совместимые (V).
Содержание условий (III) - (IV) заключается в том, что треугольник,
образованный тремя телами в момент t = 0, является равнобедренным, лежит
в плоскости (g, т]), а две равные массы тп,, тпг находятся в вершинах его
основания. Кроме того, основание этого треугольника расположено при t = 0
симметрично относительно оси т], а массы тп, расположены так, что
возрастание индекса i определяет положительное направление движения на
плоскости (?, р). В силу симметрии компоненты Щ , U°., U*. силы
притяжения, действующие на тщ при t = 0, таковы, что
Тогда а > 0, 0 в силу (IV), (VI). Кроме того, формулы
(III), (IV), (VI) показывают, что соотношения
справедливы пе только при ? = 1, но и при i - 2. Следовательно, из (V)
видно, что (VIIi) - (Vila) справедливы и при ? = 3. Наконец, на основании
(II), (III), (IV) легко заключить после непосредственных вычислений или
путем элементарных векторных соображений, что относительная величина двух
положительных чисел а, Ъ в (VIIi) - (VII2) зависит от того, являются ли
при ? = 0 стороны т1пг3 =¦ m2m3 равнобедренного треугольника т,т2лг3
короче, длиннее, чем основание та,, таг, или же равными основанию. Для
равностороннего треугольника а = Ь. Выберем начальное положение так, что
Ui = Ui = Ul == о,
о
о
.о
(VI)
см. (II), (III), (IV).
Положим
(VII,)
(VIbX
Ъ > а {а > О, b > 0).
(VIII)
§§ 389-374. ТОМОГРАФИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ 359
Как будет показано, 9 начальных скоростей I'J,.. ., ? могут быть выбраны
так, что решение уравнений [1], соответствующее 18 начальным условиям
gi°,..., , имеет вид
ti = lir, 1Ц = т)!гсоаи, ?i=S?rsin(B, i= 1,2,3, (IX)
где r - r(t), со = со(?) -пара соответствующих функций, зависящих от t и
удовлетворяющих начальным условиям
r°= 1, и0 = О (X)
(см. (IV), где Ci° = 0).
Прежде всего, непосредственная подстановка (IX), (II) в (I) показывает,
что 9 условий (I) для двух неизвестных г(?), со(t) состоят, с одной
стороны, из трех уравнений
тп&°т"= г-зи?.,
сводящихся в силу (VIIi) к одному уравнению
г" = -аг~3.
С другой же стороны, мы имеем 6 уравнений, которые сводятся после
умножения их на cos со, sin <о, -sin со, cos о и соответствующего
сложения с учетом (VI 1г) и условия U^i = 0 к двум уравнениям
г" - га'2 = -Ъг~3, га" + 2/(1)' = 0.
Однако полученные три условия для двух функций r(t), со (t) не
независимы. Действительно, уравнение г" - та'2 = Ьт-3 эквивалентно в силу
уравнения г" = -аг~3 следующему:
со' = (Ь - a)1/j г-2,
в силу которого соотношение та" + 2г'со' = 0 "удовлетворяется
тождественно по t, поскольку а и Ъ постоянны. Поэтому решение уравнений
(I) представляется в виде (IX) тогда и только тогда, когда функции r(t) и
со (t) удовлетворяют двум уравнениям
т' = -аг3, j
со' = (Ь - а) ,/гг~2. ) к }
Легко обнаружить, что последние уравнения имеют решение г = r(t) = (1 + 2
ачЧ)Чг,
1
со = со (t) = -а-'/ДЬ - a)'!']g( 1 + 2 a'hl) 2
(XII)
360
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
и что это решение удовлетворяет также условиям (X). Условие же (VIII)
показывает, что постоянные (Ъ - а)'1* в решении (XII) вещественны и
такие, что ы(?) ф const.
Частное решение уравнений (I), определяемое формулами (IX) и (XII),
обладает желаемыми свойствами. Действительно, из (IX) видно, что это
решение томографическое, но не плоское, поскольку ы(?) ф const. Правда,
это решение компланарное, так как п = 3.
Можно сделать также вывод, что результаты, изложенные в § 346, не имеют
места для силовой функции (II). Действительно, из (IV) видно, что
неплоское решение (IX) таково, что треугольник, образованный тремя
телами, является при любом t равнобедренным, в основании которого
находятся равные массы (III). Вместе с тем угол ш(г), определяемый
согласно (XII), не сохраняется постоянным, так что фиксированная ось или
плоскость симметрии, существующие в случае ньютонианского притяжения (см.
§ 346), в данном случае не существуют.
В соответствии с (XII) функции r(t), a>(t) в интервале -lh.cr'/г < t < оо
вещественные и стремятся при t -*¦ -'/гот'11 + 0 к lim т = 0 и lim (о = -
оо. Следовательно, из (IX) видно, что при t -"- -+ 0 все три тела
участвуют в одновременном столкновении, причем перед столкновением в
центре масс все тела движутся вдоль пространственных спиралей. В
соответствии же с изложенным в §§ 335 и 326 одновременное столкновение в
ньютонианской задаче трех тел для неплоского решения оказывается
невозможным.
ТОМОГРАФИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ И ЦЕНТРАЛЬНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ
§ 375. Результаты, собранные в §§ 370а-371 и доказанные в §§ 372-374,
содержат в себе классификацию всех возможных томографических решений, но
