Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
неколлинеарная центральная конфигурация, а именно равносторонний
треугольник. В то же время число различных коллпнеарпых центральных
конфигураций равно числу различных масс (см. § 358). Таким образом, если
п - 3, то затруднения, упомянутые в § 365, не возникают и применимы
результаты § 365а.
§ 368. Естественно задать вопрос, при каждом или не каждом одновременном
столкновении п тел все барицентрические векторы ?, (f) стремятся к общему
нулевому пределу в определенном направлении, т. е. так, что все единичные
векторы ?<(*)/|?<(01 имеют предел. В § 351 было показано, что в случае
парного столкновения ответ па этот вопрос положителен. Однако в случае
одновременного столкновения всех n(Z> 2) тел представляется гораздо более
трудным доказать, что эти тела не могут перед столкновением в центре масс
двигаться по спиралям, не имеющим асимптот.
§ 368а. Вместе с тем, как легко заметить, если одновременное столкновение
таково, что существуют предельные положения касательных к п траекториям =
|i(?) независимо от того, удовлетворяется или не удовлетворяется условие
q(n, mi,..., тга")-<оо, то конфигурация тел должна стремиться к
определенной центральной конфигурации в том смысле, что все 7гп(п - 1)
пределов (24) существуют. Действительно, в случае определенных предельных
направлений легко на основании (15i), (I81)¦- (I82) и (22i) вывести, что
существуют конечные пределы
lim
О
где по крайней мере п - 1 из п пределов lim ?,¦ отличны от нуля, так как
начало координат совпадает с центром масс. Однако Pi* = Jli - €ь|, так
что пределы (24) существуют,
§§ 369-374. ТОМОГРАФИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
347
ТОМОГРАФИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
§ 369. Решение li = li (t) задачи п тел называется томографическим, если
конфигурация, образованная гг телами в инерциальной барицентрической
системе координат |, изменяется так, что она остается при любом t
подобной самой себе. Под последним утверждением подразумевается, что
существуют скаляр г = = г (t) > 0, ортогональная 3-матрица Q = Q(?) и 3-
вектор т = x(t) такие, что при любых
li = гП|4° + т,
где |i, г, ?2, т относятся к произвольному моменту t, а ?,° - значения li
в некоторый начальный момент t -¦ t°. Фактически возможны лишь расширение
и вращение, определяемые неизвестными r=r(t), ?2 = ?2(2), поскольку
вектор переноса т = т(?) должен обращаться тождественно в нуль в силу
условия Smili = 0.
Конечно, томографические решения принадлежат к решениям довольно частного
вида, так как система порядка 6п
mb =
должна быть удовлетворена 1 + 3 скалярными функциями, соответствующими
?•(/), О (t) и содержащими Ъп постоянных интегрирования ii°.
§ 370. Прежде всего отметим некоторые тождества. В соответствии с § 369
томографическое решение li(t) характеризуется существованием вращения Q
(?) и расширения r(t) > 0 таких, что для любых t и i = 1, ..., п
координаты
h = rQll (1)
т. е.
xi - r%ii
где х = ?2_1? - барицентрическая, но не обязательно инерциальная
координатная система, причем индекс (°) относится к фиксированному
начальному моменту t =¦ i°.
Например, из (1) видно, что
г° = r(t°) = 1 (r = r(t)> 0), (20
Q° = ?2 (t°) = E,
348 ГЛАВА У. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
где Е - единичная 3-матрица. Из (1) также видно, что
/ = Рт*, (30
и°
и= (За)
г
U0
(30
так как скаляры
Щтъ
инвариантны при любом t, а их градиенты, следовательно, кова-риантны по
отношению к вращению Q.
Рассмотрим матрицу 2 (?), образованную тремя скалярами sv = sv(0, которые
определены с помощью матрицы fi = fi (t) в соответствии с (5) § 66, так
что
0 - s3 s А
2 = s3 0 - Si I, (40
0 J
SlS-s \
22 = l s2si - s3a - sO s2s3 1 (4a)
\ S3Si s3s2 - Si2 - s22/
(cm. (5) - (6) § 66). Так как на основании (1), где |*° = const, получим,
что
&0 f /ь0________ /г. 0 Нг.0__ _//г1*"(r)
Xi - г|,-, Xi = r%i = /Eli, Xi = /'li = /'Eli,
и так как формулу x = fi-1?, определяющую вращающуюся координатную
систему х, можно записать в виде (8) § 69, полагая Е = |, X =•х, то из
(100 - (Юг) § 69 видно, что
fl-'|'=(/E-{-r 2)|°, (50
ОгЧ? = {^Е + 2/ 2 + г ( 2 + S') } li (5а)
Из (5г) и (Зз) видно, что если обозначить через midi постоянный 3-вектор
U°? , то вдоль томографического решения |,- = |i(?)
§§ 369-374. ТОМОГРАФИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
349
уравнений mt5," - U?. имеем
К (f )??="<, (64)
г* {г"Е + 2/2 + г(2' + 2^)} ^ К = (хря), (6а)
причем (62) является определением матричной функции К =¦ = (Крд) времени
t. Если через Av обозначается, как и в § 1, транспонированная матрица по
отношению к А то, очевидно, что Е = Еч, а (42), (40 показывают, что
(Ц2)' = 22, 2' = -2, (2')' = -2'.
Следовательно, из (62) вытекает, что
-i (К + Г) =/(/'Е + г22), (70
у (К + Кх) = г2(г2'+2/22), (7о)
Приведенные выше формулы допускают существенное упрощение в специальном
случае, в котором частное решение ?* = = S,-(i) является плоским в
указанном в § 324 смысле. Тогда можно выбрать барицентрическую
инерциальную систему координат так, что третий компонент каждого из
трехмерных векторов li(t) равен тождественно нулю, т. е. что ?2
