Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
рассматриваются 7гга (га - 1) положительных чисел. Эти числа представляют
взаимные расстояния между га различными точками евклидового пространства
тогда и только тогда, когда удовлетворяются р(^0) независимых условий
Rs = 0, s = 1,..., р, (5)
где Rs = 7?s (Р12, Pis, ..., pn-i, n) - рациональная функция
7гга (га- 1) переменных ры. Число р этих функций равно
р = 1(га-1)(га-2), (60
р = -i(ra -2)(га -3), (62)
или
Р - _2"(п - 3) (п - 4) , (6а)
336
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
если п точек коллинеарны, компланарны, но неколлинеарны, или же
некомпланарны соответственно.
В соответствии со сказанным необходимые и достаточные условия (1) для
центральной конфигурации относительно тг можно выразить с помощью 7аи(и-
1) расстояний р^, причем во всех трех случаях (6i) - (62) записываются в
виде v
{}иг)егк Pik= °> 1 ^ 1 < * < п> <7)
5=1
где J, U, Ri, Rv - функции (3f) - (32), (5) величин р,-*, а через хь • ¦
¦, Хр обозначены лагранжевы множители.
§ 358. Применяя условия (7), легко определить все коллинеарные
центральные конфигурации относительно трех заданных положительных чисел
иг,-.
В этом случае система геометрических условий (5) сводится к одному
уравнению R - 0, поскольку согласно (64) при п = 3 имеем р = 1. Если
выбрать индексы так, что среди тел тпи т3, т3, лежащих на одной прямой
mi, и т3 расположены по краям, то R - pis - Р12 - Р23 и условие R = 0
эквивалентно равенству pi3 =' Р12 ~Ь Р23. Следовательно, если (?, j, к) -
какая-либо циклическая перестановка тройки чисел (1,2,3), а % -
единственный лагранжев множитель (xi = Хр)> то необходимые и достаточные
условия (7) сводятся к трем уравнениям
(^Х+хДр^О,
где RPik= (-l)j, a J, U выражаются согласно (3i) - (З2), так что
р^С/ц-1 - f-hJ + (- 1 Vrnfi = 0, (8)
где
К = я: (2т1тгт3 U).
2
Следовательно, del (ро,, -ро,, (-1 )3jnj) = 0> т- е.
Р23 -2 Р23 + mi
Рз1 РзГ -
Pl2 Р12 + т3
где
Pl3 = Pl2 + Р23 (Pifc = Pki) •
Наоборот, пусть заданы два положительных числа Р12, Р23 такие, что
удовлетворяется условие (9i). Тогда, как показывает вы-
§§ 355-368. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ
337
числение миноров определителя, в этом условии три линейные однородные
уравнения (8) определяют величины С/р-1, -К с точностью до общего
множителя таким образом, что отношение Uрг1 : / равно именно тому
значению, которое соответствует формулам (3i) -(Зг). В силу сказанного
необходимые и достаточные условия (7) сводятся к определению всех пар
положительных чисел р 12, ргз, удовлетворяющих (9). Как следует из
последнего замечания в § 355, можно определить при этом лишь отношение
этих чисел. Поэтому, если мы положим
-^- = Ч>0).. (10)
Ргз
то, поскольку pi3 = pi2 + ргз, имеем
Ргз
и (9) представит собой уравнение относительно одной величины К - k(mi,
т2, ms). Действительно, умножая первый и второй столбцы определителя (9)
на р2з и р22 соответственно, используя далее (10) и, наконец, раскрывая
определитель, перепишем условие (9) в виде
(7712 -|- 7?1з) А.(r) -|- (2/712 -|- Зт71з) А* -|- (т?12 -|- 3/71з) X3 -
- (3/71! + 7712) X2 - (3771! + 2Т712) X - (77Ц + ТПг) = 0. (11)
Следовательно, задача сводится к определению положительных корней (если
они имеются) X = Я. (mi, 77i2,77i3) этого уравнения пятой степени.
Легко заметить, что уравнение (11) имеет при произвольно заданных трех
массах rrii, тг, т3 один и только один положительный корень X, причем
0 < Я (771!, тга2,771з) = X Ш 1, (12)
если 77ii Щ 7713 соответственно.
Действительно, так как 77i2 + 77i3 > 0, то при больших положительных X
полином (И) принимает положительные значения, а-при X = 0 - отрицательное
значение, равное -(t71i + 77i2). Так как при X = 1 этот полином равен 7
(т3 - 77ii) Щ 0, то существует по крайней мере один корень X,
удовлетворяющий неравенству (12). Вместе с тем так как коэффициенты
полинома (И) имеют лишь одну перемену знаков, то этот полином не может
иметь больше одного положительного корня. Заметим, что этот единственный
положительный корень является также единственным вещественным корнем.
Действительно, уравнение (11) можно
22 А. Уинтяер
338
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
переписать в виде
{-ЗЯ2 - ЗЯ - 1} лц + {(*3 - 1) (Л. Н- I)2} тпг +
+ {Я3(Я2 + ЗЯ + 3)} т3 = 0. (11а)
Бее коэффициенты при ТП{ отрицательны при любых Я < О, так что корней Я О
быть не может.
Дисимметрия трех индексов в (11), (12) обусловлена, конечно,
соответствующей дисимметрией в (10). Вместе с тем уравнение (11) остается
согласно (10) и (12) без изменений, если заменить Я на 1 / Я, и
одновременно поменять местами mi и т3. Последнее допустимо, так как мы
лишь предполагали, что mi и т3 расположены по краям на одной прямой
вместе с т2. Поскольку любую из трех масс т{ можно поместить между двумя
другими ц поскольку любое такое расположение приводит, как было показано,
к однозначному определению величин Ppi2, Рргз, РР13, в которых р > 0 -
произвольный коэффициент пропорциональности? (в силу изложенного в конце
§ 395 его можно опустить), то результат приведенного анализа можно
