Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 124

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 202 >> Следующая

gi),
где р.,7, = mi / /пл. Кроме того, из (1) § 340 при п = 3 следует, что
XiXx[ = (fc X Ь) + (Ь X b)-(Ei X Ь)~(Ь X ?1).
Суммируя эти два соотношения, умножая результат на mim3, полагая и
используя (28i), получим
т2 (I2 X )= (tf&i + m3)\im{mi (gt X gi)+ X ?з)}.
t-ft°
Однако предел в правой части этого соотношения равен
С - ш2(?2 Х|г ),
так как сумма всех трех векторов mfa X Е/, г = 1, 2, 3, равна постоянному
кинетическому моменту С. Отсюда и вытекает справедливость (30), причем
постоянная v(>0) равна
mi + т3
v =---------------------.
тг{ту + т2-\- т3)
§§ 355-368. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ
333
ЦЕНТРАЛЬНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ
§ 355. Здесь и ниже, до начала § 361, будем считать, что момент t
фиксирован, так что рассматриваются лишь барицентрические положения но не
скорости или ускорения п тел. Сила, действующая на т, в данный
фиксированный момент времени t, тем не менее определена, так как она есть
вектор I7gt = U^i (ii, ... ..., ?"), где
v * Tflj mt
Аналогичным образом будут определены в этот момент J = hm^i2 и градиенты
J& = 2т&.
Будем говорить, что п векторов определяющих положения п тел nil, .. ., тп
в барицентрической системе координат, образуют центральную конфигурацию
по отношению к п положительным константам mi, ..., тп, если сила
притяжения, действующая на тело mt в рассматриваемый фиксированный момент
времени, пропорциональна массе 1Щ и вектору ii, т. е. если
Ui.= amili, i= 1,..., га, (1)
причем скаляр о не зависит от i. Значение а определяется на основании
этих формул единственным образом. Действительно,
2 О 2 milu
а
2^.= -^
так как U - однородная функция степени -1, откуда о = -U J J. Учитывая
также формулу Ji~ 2т&, получим, что условие (1) может быть записано в
виде
Л/Е = -4Uh.
Ч 2 *
или
(Л/2Ь= 0, i = l,...,n. (li)
Назовем центральную конфигурацию плоской, если ее п точек |i лежат в
одной плоскости, причем не исключается случай коллинеарной центральной
конфигурации. Центральные конфигурации, не являющиеся плоскими, могут
существовать, таким, образом, лишь при п ^ 4.
334
глава V. Задача многих тел
Очевидно, что понятие центральной конфигурации не связано с ориентацией
барицентрической системы координат Кроме того, очевидно, что если векторы
|i, ..., определяют центральную конфигурацию по отношению к mi, ..., тп,
то векторы iii ¦ ¦ •, In также определяют центральную конфигурацию каждый
раз, когда ?, = |3?,-, i = 1, ..., л, и 0 > 0 - некоторая постоянная.
Поэтому будем рассматривать две центральные конфигурации по отношению к
одним и тем же константам как одинаковые не только тогда, когда они
конгруэнтны с точки зрения евклидовой геометрии, но и в том случае, когда
одна переходит в другую после соответствующего изменения единицы длины.
§ 356. Обозначим через Г = (v-t'ft) п-матрицу, элементы которой
определяются по формулам:
'ФК (2)
ТТ п
yii 1 "J lii-iil3' ( 0
(Mi)
Обозначим через ?,-v, v = I, II, III, компоненты л 3-векторов g*, а через
Ev три л-вектора с компонентами g;v. Легко проверить, что векторные
условия (1) можно переписать в виде
rEv = 0. (22)
В частности, условие d|et Г = 0, т. е. г ^ л- 1, где г -ранг матрицы Г,
является необходимым для центральной конфигурации. Заметим, что если Г
дано, а \ фиксирована, то условие (2г) вместе с условием
2 rrnli = О,
характеризующим систему координат, определяет взаимные отношения л
скаляров ?jv единственным образом лишь тогда, когда г = п - 1.
Необходимое условие г ^ л - 1 соответствует требованию,
что л-матрица Г имеет нулевое характеристическое число.
Фак-
тически г равно кратности нулевого характеристического числа матрицы Г.
Действительно, эта матрица вообще несимметрическая, но она становится
симметрической, если умножить ее к-й столбец на /л*. Тем не менее
характеризовать центральные конфигурации с помощью элементов у^ матрицы Г
часто слишком трудно, и мы не будем использовать этот путь в дальнейшем.
§§ 355-368. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ
.335
§ 357. К более удобным условиям для центральных конфигураций можно прийти
после выражения матрицы Г с помощью 7гя(га-1) взаимных расстояний = |?, -
§л|, 1 ^ i < /с ^ л.
Прежде всего в силу § 322а
/ = р-1 2 т:тф)и U = 2 . 130
Pji
р = 2 щ. (Зз)
Однако мы не можем заменить (1) */2га (л - 1) условиями
(W*)ptt=°,
если Pift геометрически зависимы, что и имеет вообще место. Например, из
аналитической геометрии известно, что шесть положительных чисел p-jfc =
phi, 1 ^ i < к ^ 4, представляют или не представляют взаимные расстояния
между четырьмя компланарными, но не коллинеарными точками в зависимости
от того, удовлетворяется или не удовлетворяется геометрическое условие
7? = 0, (4)
где
7? = T?(pi2, Pl3, pi4, Р23, Р24, P34) ='det Д,
причем Л - симметрическая 5-матрица, в которой элемент с
номером i в к-м столбце равен при i ф- к квадрату р*ь, если
i = 1, 2, 3, 4 и 1, если i = 5, а все пять диагональных элементов равны
нулю. Мы привели это условие для иллюстрации общего случая, когда
Предыдущая << 1 .. 118 119 120 121 122 123 < 124 > 125 126 127 128 129 130 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed