Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
условия ||i - ?n | -0. Этим самым требуется ЛИШЬ ТО, ЧТОбы ПОЛОЖеНИЯ ? =
|l(f), ? = ?n(f) Тел ТП\, тпп соответственно в барицентрической
инерциальной системе координат | стремились друг к другу при t -*¦ f°, но
это условие само по себе может допускать, что ни ?i(f), ни ?n (f) не
стремятся при этом к пределу (конечному или бесконечному). Однако
оказывается, что условие, налагаемое в § 349 на поведение тел т2,... ...,
mn_i в достаточно малой окрестности момента f°, гарантирует существование
общего конечного предела lim ?i (f) =¦ lim ?n (f) при t f°, так что
столкновение mi и mn должно происходить в определенной вполне точке
барицентрического инерциального де-картового пространства.
Действительно, так как | ?i - ?п| -*¦ 0 и так как значения масс -
положительные числа, то существование конечного общего предела lim ?i =
lim ?п эквивалентно существованию конечного предела функции /rei?i +
m"?". Однако, поскольку инерциаль-ная система координат ? является
барицентрической, функция niih -f mnln совпадает с суммой - (т2?2 + ... +
/ren_i?"_i). Таким образом, достаточно доказать существование конечных
пределов для (п - 2) векторов ?2,..., ?n-i. Применение последнего
замечания, приведенного в § 351, к / = ?; показывает, что этого
достаточно для доказательства существования конечных пределов векторов
скорости ?2',..., ?^_t. Следовательно, применяя это же замечание к / =
делаем вывод, что достаточно доказать ограниченность при t -*¦ f°
векторов ускорения lz",..., ?й-i ¦ Для этого требуется лишь
ограниченность при f -*¦ f° сил притяжения, дей-
g§ 348-394. ПАРНЫЕ СТОЛКНОВЕНИЯ
331
ствующих на Шг,. • ¦, mn~i. Однако уравнения движения (li) - (1з) § 322
показывают, что последнее условие удовлетворяется, поскольку, по
предположению (§ 349), все взаимные расстояния I I между rrij и тпп не
оказываются произвольно близкими
к нулю при t -*¦
В соответствии со сказанным координаты Si и скорости |/, I Ф 1 и I ф п,
стремятся к конечным пределам, например, к Si0, S/0- Кроме того, Si и
стремятся к общему конечному пределу Si0 =' In0, отличному от всех S20, .
• ¦, i°"_i ¦ Вместе с тем h', In' не могут стремиться к конечным
пределам, так как |ii' - in'| -*¦ + "о в силу (283).
В частности, векторы ускорений ..., Е'_1 не только остаются
ограниченными, но и стремятся при t->t° к конечным пределам. Это теперь с
очевидностью вытекает из (li) - (1з) § 322 и из факта существования всех
конечных пределов lim I,-, i = 1,..., п, причем или lim Sj Ф lim Sft, или
/ = 1, к = п.
§ 353. Из приведенных выше результатов вытекает, что если решение задачи
трех тел не является плоским (см. определение в § 324) и если при t = f°
имеет место парное столкновение двух из трех тел, то это столкновение
происходит в точке, лежащей на инвариантной плоскости. В то же время
траектория тела, не участвующего в столкновении, касается при t = f°
инвариантной плоскости.
Действительно, так как решение не является, по предположению, плоским и
так как при п - 3 любое решение является компланарным, то и из сказанного
в § 326 следует, что С Ф 0 и что, таким образом, существует инвариантная
плоскость С-S = 0. Наше утверждение заключается в том, что при t =• t°
координата Si0 = S30 точки столкновения mi и т3, а также координата S3
тела тпг и вектор скорости S? принадлежат этой плоскости, причем S '2 Ф
0. Через S"0" i'2 обозначены конечные пределы, существование которых было
доказано в § 352.
Для доказательства покажем, что
i9°XS2°=vC, (30)
где v - отличный от нуля скаляр. Из этого равенства следует, очевидно,
что S Ф 0. Умножая его обе части скалярно на S20, i'2, получим, что S 2 1
ia0 удовлетворяют уравнению С-S = 0 инвариантной плоскости. Однако тогда
то же самое справедливо и для Si0 = |з°, так как система координат S
барицентрическая,
332
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
mfa0 -f- т212° + гпз1з° = 0 и ?i° отличается лишь скалярным множителем от
|г°.
Таким образом, достаточно доказать (30). По существу доказательство этого
соотношения не связано с предположением, что С ф 0. Поэтому X ? =
0 тогда и только тогда, когда С - 0.
Из сказанного вытекает, что в рассматриваемой задаче трех тел вектор
скорости ? тела т2 не расположен или расположен вдоль прямой, соединяющей
предельное положение ?2° тела т3 с точкой ?i° = h° столкновения тел mi и
т3 в зависимости от того, существует или не существует инвариантная
плоскость. Заметим, что при п - 3 отсутствие инвариантной плоскости (т.
е. условие С - 0) является достаточным, но не необходимым условием для
компланарного решения (см. § 326 и последнее замечание в § 324).
§ 354. Для доказательства соотношения (30) заметим прежде всего, что
поскольку система координат g барицентрическая, то m-ili + тг1г + т3\3 =
0 и mih' + т2У + гп3\3 = 0.
Вычисляя с помощью этих двух линейных соотношений векторное произведение
т31,г на т?г', получим после деления на mim3 формулу
М-21М-2з(?2 X €2) = М-13 (Si X li) + Мз1 (Sa X ?3) + (h X ?3) + (?з X
