Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Уинтер А. -> "Аналитические основы небесной механики" -> 126

Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.

Уинтер А. Аналитические основы небесной механики — М.: Наука, 1967. — 524 c.
Скачать (прямая ссылка): analiticheskieosnovinebesnoymehaniki1967.pdf
Предыдущая << 1 .. 120 121 122 123 124 125 < 126 > 127 128 129 130 131 132 .. 202 >> Следующая

резюмировать следующим; образом.
Для трех произвольно заданных различных масс mi существует три и только
три различные коллинеарные центральные: конфигурации. Кроме того, лишь
две из этих трех центральных конфигураций совпадают друг с другом (в
смысле определения в § 355), если две из трех масс равны между собой.
Если же все массы равны, то совпадают между собой все три указанные
центральные конфигурации.
§ 359. Используя те же условия (7), можем легко показать, что в случае
произвольно заданных четырех масс тщ, различных или одинаковых,
пространственная центральная конфигурация соответствует правильному и
только правильному тетраэдру. Для трех масс т^ неколлинеарная центральная
конфигурация соответствует равностороннему и только равностороннему
треугольнику. Для двух же масс центральная конфигурация соответствует
прямолинейному движению.
Предположения, использованные в этих трех утверждениях, те же самые, а
именно те, что неотрицательное целое число (Gn-i) обращается в нуль при п
= 4, 3, 2 соответственно. Таким: образом, (7) сводится к
или же в силу (3t) - (Зг) к
Р?а= р^r, (iyк) = (1,2), ...,(га- 1,ч).
§§ 355-368. ЦЕНТРАЛЬНЫЕ КОНФИГУРАЦИИ
339
Однако эти 7гп(п - 1) условий при п = 4, 3, 2 могут быть удовлетворены
лишь тогда, когда 72п(п-1) ( = 6,3,1) расстояний
равны между собой. Тогда формулы (3t) показывают, что условие (12)
удовлетворяется как при равных, так и различных ваданных массах тп{. Этим
самым доказательство закончено.
§ 360. По-видимому, эти три случая, которые характеризуются тем, что р =
0, исчерпывают все центральные конфигурации при произвольных значениях
mi, ..., mn и любом п. Более того, число q - mu ¦¦¦, mn) всех центральных
конфигураций для п заданных масс т,-, по-видимому, меньше предела qn, не
зависящего от mi, а само qn остается ограниченным при п->-оо.
Наибольшая доля центральных конфигураций при данных п n mi, ..., mn
надает, по-видимому, на коллинеарные конфигурации. Выделение же всех q =
q(n,mu ..., mn) центральных конфигураций для произвольных п, mi, ..., mn
представляет собой увлекательную неразрешенную проблему, связанную с
полным анализом некоторых вещественных алгебраических уравнений.
(i) Рассмотрим прежде всего задачу о коллинеарных центральных
конфигурациях п заданных т*. Если п = 3, то такие конфигурации
исчерпываются указанными в § 358 и они зависят, таким образом, от
заданных масс mi, m2, m3, поскольку от них зависит положительный корень X
уравнений (11). Для того чтобы распространить метод § 358 на любое п,
можно обозначить массы так, что масса m3, j = 2, ..., п - 1, расположена
на прямой между mjM и m3-+i, и представить любое р,-*, 1 г <; к п, как
сумму к - г расстояний рг, г+1, где I = 1, ..., п - 1. Таким путем мы
придем к р геометрическим условиям вида (5) для p,-fe, представляющим
собой в данном случае линейные уравнения. Однако, применяя условия (7),
мы придем к системе из п - 2 нелинейных алгебраических уравнений,
сводящейся при п = 3 к одному уравнению (И). Требуется анализ этой
системы с точки зрения ее совместности с заданными значениями т,- > 0.
Для случая п = 3 эта проблема совместности сводится к требованию, чтобы
искомая величина X = р": ргз была положительной. Такой анализ
представляет собой весьма сложную алгебраическую задачу, причем трудности
при получении конкретных результатов быстро возрастают вместе с п. В
работах, касающихся этого вопроса, содержится утверждение, что каждой
нумерации п заданных масс (которые могут быть и равными и различными)
соответствует одна и только одна прямолинейная Центральная конфигурация.
В частности, число различных таких конфигураций при п произвольно
заданных различных массах равно 1/2тг!
22*
340
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
(ii) Рассмотрим неколлинеарный плоский случай (6z). Если п = 3, то задача
полностью разрешима (см. § 359). Если га > 3, то система (5) уже будет
нелинейной, так как она имеет вид (4) даже в самом простом случае га ~ 4,
р - 1. В этом случае применение условий (7) показывает, что четыре
стороны и две диагонали четырехугольника должны удовлетворять не только
геометрическому тождеству (4), но и необходимому условию
- Раз). (13)
Однако последнее условие не является при четырех заданных массах гаг*
достаточным для того, чтобы удовлетворялись шесть условий (7), (4).
Вопрос о совместности требует дальнейшего анализа. В частности, легко
обнаружить непосредственно с помощью (1), что квадрат представляет собой
центральную конфигурацию лишь в случае четырех равных масс. Детальный же
анализ показывает, что при четырех заданных массах гаг* по крайней мере
одна неколлинеарная плоская центральная конфигурация имеется лишь тогда,
когда гагi удовлетворяют некоторым неравенствам. Ограничения становятся,
конечно, еще более сильными с увеличением га.
(iii) Пространственные центральные конфигурации наиболее редки. Прежде
всего, по-видимому, во всех случаях, кроме случая и = 4, р = 0,
Предыдущая << 1 .. 120 121 122 123 124 125 < 126 > 127 128 129 130 131 132 .. 202 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed