Аналитические основы небесной механики - Уинтер А.
Скачать (прямая ссылка):
причем к - к (mi, rrii, m3) - единственный положительный корень уравнения
(11) § 358. Фактически можно прийти к (39) и независимо от (И) § 358,
если сложить два соотношения (36) и учесть, что
°pi2w2 + 0р2зсо2 = рш2
°Рм = Т+Т' """"тЬг-
I! оставшемся решении относительного равновесия в задаче трех тел
конфигурация представляет'собой равносторонний треугольник (см. § 359).
Следовательно, из (ЗЗг) и (34) легко установить (полагая п - 3), что
со2рЗ - rrii -f гпц + m3, (40)
где
Р = °Pl2 = °Р23 = °Pl3-
В обоих случаях (39), (40) угловая скорость ±ш обратно пропорциональна
степени -3/г линейных размеров.
§ 381. Очевидно, что решение (30) относительного равновесия
характеризуется тем фактом, что (33i) является для уравнепий (32) точкой
равновесия в указанном в § 83 смысле. Поэтому из изложенного в § 89
следует, что если через щ, у,-, и/, и/ обозначаются смещения (см. § 86)
для решения ¦ (33]) системы (32), то соответствующие уравнения Якоби (см.
§ 86) обладают
§§ 375-382. ТОМОГРАФИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ
373
постоянными коэффициентами, т. е. имеют вид
4 71
Zj=^ajiZi, /=1,...,4п,
(41)
где А - (dji) - постоянная 4и-матрица, а через zi,, zin обозначены 4п
смещений щ, щ, и/, и/ {i - 1, . . . , п).
Значения постоянных коэффициентов ад могут быть найдены на основании того
факта, что уравнения (41) предотавляют собой не что иное, как линейную
лагранжеву систему
в которой функция Лагранжа есть квадратичная форма с постоянными
коэффициентами. Действительно, применяя к (29Д- (33() правило, изложенное
в § 101, получим
- постоянные, полученные при подстановке постоянных (33j) во вторые
частные производные функции
Конечно, непосредственные операции дифференцирования и подстановки,
необходимые для нахождения элементов матрицы А = (а,;), достаточно
утомительны.
Если матрица А составлена, то уравнение
(см. § 89), имеющее здесь степень 4п, определяет характеристические
показатели s. Анализ вопроса о том, все или не все из 4п
характеристических показателей s принадлежат согласно определению в § 89
к устойчивому типу, еще более утомителен, чем вычисление матрицы А, так
как для этого надо установить, будут или не будут все корни уравнения det
(sE- А) -0 чисто мни-Мымц (включая 0).
(42)
det(s?' - А) = 0
374
ГЛАВА V. ЗАДАЧА МНОГИХ ТЕЛ
§ 382. Пусть, в частности, п - 3, так что имеют место два случая,
рассмотренные в § 380. Выберем единицу длины так, что р = 1 в обоих
случаях (39), (40), и положим для сокращения
vz = -а12 - аи, (44i)
27 (mimz + т2тп3 + m3mi)
4(mi + т2 + 77i3)2 2
в случае коллинеарной и треугольной конфигурации соответственно, причем
ард определяются в соответствии с (37). Из (38i) и (44i) - (442) видно,
что v2 > 0 в обоих случаях.
Выполняя элементарные вычисления, указанные в § 381, найдем, что
уравнение
det(s2? - А) = 0
степени 4тг = 12 имеет в обоих случаях восемь тривиальных корней
устойчивого типа s = ±тУ-1, причем т принимает только
два значения: т = <о или т = 0, а остающиеся четыре характери-
стических показателя s являются корнями уравнения
s4 + (ы2 - v2)s2 - (2 v4 + 3v2w2) = 0 (45i)
или
s4 + w2s2 + vzw4 = 0 (452)
в коллинеарном и треугольном случаях соответственно.
Таким образом, ответ на вопрос, все или не все характеристические
показатели принадлежат к устойчивому типу (в указанном в § 89 смысле), в
этих двух случаях различен, поскольку:
I) в коллинеарном случае нельзя выбрать значения всех трех масс так, что
все характеристические показатели будут устойчивого типа,
II) в треугольном случае все характеристические показатели будут
устойчивого типа тогда и только тогда, когда одно из трех тел имеет
массу, составляющую по крайней мере
100^- + - У2^ процентов общей массы mi + Т7г2 + 7тг3 (этот предельный
процент весьма велик и несколько превышает 96%).
Действительно, уравнение (45±) является квадратным относительно s2 и
имеет отрицательный свободный член, так что один из его двух корней (для
s2) отрицательный, а другой положительный. Следовательно, два из четырех
корней s уравнения (45)) чисто мнимые, а два - вещественные, из которых
один положительный, а другой отрицательный. Таким образом, два
характеристических показателя s не принадлежат к устойчивому типу
независимо от значений масс /щ, 77г2, т3.
§§ 383-389. ИСКЛЮЧЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС
375
С другой стороны, два корня квадратного уравнения (452) для s2 равны
s2 = - {-1 ± (1 - 4v2)l/j} to2.
Следовательно, все четыре корня s этого уравнения будут чисто мнимыми и
различными всегда при 4v2 < 1, но совпадают парами при 4v2->- 0 и имеют
при 4v2 > 1 вид ±а ± РУ-1, где а, Р - положительные числа. Поэтому все
характеристические числа s принадлежат к устойчивому типу тогда и только
тогда, когда 4v2 ^ 1. С помощью же (442) легко установить, что
неравенство 4v2 ^ 1 эквивалентно условию, указанному выше в (II).
§ 382а. В качестве другого примера рассмотрим (см. (ш) § 360) центральную
конфигурацию такую, что га - 1 тел raij,. . ., тп-\ находятся в углах
