Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
24
Глава Л Основные ааконы геометрической оптики
слагающую вектора А но оси дг-ов. Направления прямоугольных координатных осей ОХ, О У, 0Z, образующих всегда правук) систему (рис. 12), определяют тремя единичными векторами (ортами) I, j, к; таким образом вектор А может быть представлен уравнением:
А=Ах i -+- Ау j + A, k.
Величина вектора А обозначается той же буквой курсивного шрифта, т. е.
IА | = А
Положительным направлением вращения считается направление, противоположное направлению вращения часовой стрелки для наблюдателя, расположенного вдоль оси вращения головою в положительную
сторону оси; так, на рис. 12 положительное направление вращения системы координатных осей вокруг оси OZ показано стрелкой от оси ОХ к оси О У.
На рис. 13 единичные векторы А и А' определяют падающий и отраженный лучи, вектор п — нормаль к отражающей плоскости в точке отражения. Законы отражеиия могут быть представлены одним векторным уравнением:
[Ап] —[А'в], (12,1)
где квадратные скобки означают операцию векторного умножения; равенство обоих векторных произведений есть условие компланарности векторов А, А' и п, что является содержанием первого закона отражения; если написать величины векторных произведений, то получим уравнение:
/Ч А
sin (An) = sin (А' п),
или
sin (180—г) — sin г=sin г';
§ 12. Законы отражения и преломления света в векторной форме
25
здесь i и г'— абсолютные значения углов падения и отражения в противоположность обозначениям в §10, т. е. из уравнения (12,1) вытекает также и второй закон отражения.
Умножив векториально обе части уравнения (12,1) последовательно на каждый из трех векторов: А, А' и п, получим:
[А [Ап]] = [А [А' п]], [А'[Ап]] = [А'[А'п]1 [п[Ап]] = [п[А'п]].
Преобразуем двойные векторные произведения по формуле:
[А [ВС]] = В (АС) — С (АВ),
где в круглых скобках заключены скаларные произведения; так как квадраты единичных векторов равны единице, находим:
A (An) — п = А'(Ап) — п (АА'), А (А' п) — п (АА') = А' (А' п) — п,
А — п(Ап)=А' — п(А'п).
(12,2)
Складывая первые два уравнения, получим:
А (Ап -+- А' п) = А' (Ап -н А' п).
Так как векторы А и А' не равны друг другу, то
Апн-А'п = 0. (12,3)
Последнее из трех уравнений в силу уравнения (12,3) приводится к такому виду:
А' = А — 2п (Ап). (12,4)
Это уравнение может быть написано непосредственно на основании
рассмотрения рис. 13 и может? служить для вычисления слагающих век-
тора А' по заданным слагающим векторов А и п; для этого нужно векторное уравнение (12,4) заменить тремя обыкновенными алгебраическими уравнениями по формулам векторной алгебры.
На рис. 14 вектор А определяет падающий луч, вектор А' — преломленный, вектор п — нормаль в точке преломления; обозначив показатели преломления буквами (*• и р-', можем представить законы преломления следующим единственным векторным уравнением:
^ [Ап] = [*' [А' п]. (12,5)
Это уравнение есть условие компланарности векторов А, А' и п, и, кроме того, из него следует:
[л sin z = и/ sin г',
т. е. инвариант преломления.
26
Fлава l. Основные яаконы геометрической оптики
Умножая векториальио обе части уравнения (12,5) на вектор п я преобразуя двойные векторные произведения, находим:
(а {А — и (Ап)} = [л' {А' — п (А' в)}. Так как А'п =— cos ?, то
(12,6)
{//(А'п)=- № — (Ап)2. (12,7)
Закон преломления, т. е. формула (12,5) переходит в формулу (12,1) — закон отражения, если положить3 что тогда уравнение (12,5)
дает для величин векториальных произведений следующее равенство:
L
sin (An) = — sin (А'п).
Если угол г на рис. 13 и 14 считать полбжительным, то
sin (An) = sin (180 — г) = sin г, и, следОвательно,
Л
sin (А'п) = — sin г.
Из этого следует, что рис- 14> L (А’п) = — i=t,
т. е. следует закон отражения в форме, указанной в конце § 10.
§ 13. Примеры применения законов отражения и преломления
в векторной форме
Уравнениями (12,4) и (12,6) удобно пользоваться при решении задач
о нахождении направлений лучей в пространстве. Слагающие единичных векторов, входящих в эти уравнения, суть косинусы углов, образуемых векторами с координатными осями; обычно эти косинусы легко определяются для заданных векторов. Слагающие неизвестных векторов находятся из уравнений, получаемых после раскрытия значения векторных уравнений. Для пояснения изложенного приема рассмотрим два простых примера.
а) Задача. Определить положение в пространстве плоского зеркала, отражающего заданный луч по заданному направлению.
Направления обоих лучей — падающего и отраженного определяются известными единичными векторами А и А'; неизвестен вектор в нормали к зеркалу. Умножаем скаларно обе части уравнения (12,4) на вектор А:
А'А = 1 — 2 (Ап)2.
Из этого уравнения находим скаларное произведение An, т. е. — косинус угла между заданным вектором А и неизвестным вектором п:
А«~
§ 13. Применения законов отражения и преломления в векторной форме 27
Знак минус взят потому, что согласно рис. 13 нормаль п направлена навстречу падающему лучу.
Подставляем найденное значение произведения Ап в уравнение(12,4) и находим для искомого вектора п:
