Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Очевидно, что главные радиусы кривизны Rl и R2 при таком выборе координатных плоскостей имеют следующие значения:
Формула (3,9) может быть написана в таком виде:
это формула Эйлера.
Возможны следующие три случая.
а) Обе производные rut hmsiot в начале координат одинаковые знаки, главные радиусы и главные кривизны также имеют одинаковые знаки. Если пересечь поверхность плоскостью, параллельной касательной плоскости в исследуемой точке и бесконечно близкой к этой касательной плоскости, то линия пересечения имеет вид бесконечно малого эллипса. Исследуемая точка поверхности называется эллиптической точкой.
б) Производные rut имеют противоположные знаки; вогнутости обоих главных сечений направлены в разные стороны. Две плоскости, бесконечно близкие к касательной плоскости в исследуемой точке и расположенное по обе стороны от касательной плоскости, пересекают поверхности по двум бесконечно малым сопряженным гиперболам. Поверхность в исследуемой точке имеет седлообразную форму; точка называется гиперболической.
в) Один из главных радиусов равен бесконечности; сечение поверхности плоскостью, бесконечно близкой к касательной, дает две параллельные линии* Точка называется параболической.
(3,11)
--- г cos2 ф -1- /sin2 у.
(3,12)
(3,13)
10 Глава /. Основные законм геометрической оптики
§ 4. Свойства бесконечно тонкого пучка нормалей; гомоцентрический и астигм&Лческий пучка лучей
Располагаем оси декартовой системы координат так же, как и в предыдущем параграфе, т. е. за начало осей О принимаем исследуемую точку ловерхности, ось z~ов направляем по нормали к поверхности, плоскости OXZ и OYZ совмещаем с главными нормальными сечениями поверхности. На рис. 2 MN элемент поверхности, OZ нормаль к ней
в точке О; ZOX первое главное сечение, ZO Y второе главное сечение. Напишем уравнение нормали DE в точке D поверхности, бесконечно близкой к началу О координат и имеющей координаты: §лг, $у и
Косинусы углов этой нормали согласно формуле (3, 5) пропорциональны значениям:—plt —и 1, для вычисления которых; воспользуемся рядом Маклорена, ограничиваясь членами первого порядка малости. Это дает:
9i = 9 + -d4Jx ь|^:
&у,
(4,1)
Рис. 2.
так как согласно формулам (3,8) у и (3,11) при указанном выборе осей
p — q — s — 0.
Обозначаем координаты какой-нибудь точки нормали буквами тогда уравнение ее можно написать в таком виде:
S = &ЛТ — r'C Sjf,
г, —by — t^by.
(4,2)
Если точка О не есть точка закругления, то г не равно t, и координаты ? и г, не могут быть одновременно равны нулю; иными словами, в общем случае иормали в двух бесконечно близких точках поверхности не пересекаются. Но если обе точки находятся в одном из двух главных нормальных сечений, то нормали в этих точк ix пересекаются. В случае, когда точка А находится в плоскости XOZ, в первом главном сечении, т. е. когда Ъу = 0, для точки пересечения бесконечно близкой нормали АС1 -с осью OZ имеем:
,>? 1. Свойства бесконечно тонкого пучка нормалей и лучей
11
таким образом, согласно первой из формул (3,13) нормали пересекаются в центре С, кривизны первого главного сечения. То же находим в случае, когда точка В расположена во втором главном сечении:
Найдем координаты точек пересечения бесконечно близкой нормали DE с координатными плоскостями в общем случае, когда йх и »у не равны нулю. Для точки К пересечения нормали с плоскостью XOZ имеем:
Таким образом координаты ( точек пересечения нормали с обеими плоскостями не зависят от координат точки поверхности 'V и <)у; это значит, что все нормали, бесконечно близкие к нормали OZ, пересекают два бесконечно малые элемента прямых НС± и FCU проходящих через оба главные центра кривизны и параллельных координатным осям OYи ОХ.
Все точки поверхностей световых волн по большей части суть эллиптические точки, т. е. обе главные кривизны во всех точках поверхности имеют одинаковые знаки: поверхности выпуклые или вогнутые; часто поверхности имеют ось симметрии, и тогда они имеют точку закругления. Возможны случаи образования волновых поверхностей с точками гиперболического или параболического типа, напр, при преломлении через цилиндрические поверхности.
Если поверхности волны — сфера, то все нормали к ней, а следовательно н все лучи в этом случае сходятся в одной точке, а именно в центре сферы; пучок таких лучей называется гомоцентрическим; точка схождения (или расхождения) гомоцентрических лучей называется изображением какой-то точкч, даваемым гомоцентрическими лучами; в частном случае эта точка может совпасть с источником — со светящейся точкою. Если гомоцентрические лучи действительно пересекаются в их геометрическом центре, то эта точка называется действительным изображением или действительно й точкою; если в действительности лучи не проходят через эту точку, а в ней пересекаются лишь геометрические продолжения лучей — геометрические линии, то такая точка называется мнимою точкой или мнимым изображение м. Действительное изображение может быть принято на экран или на фотографическую пластинку; мнлмое не может быть получено на экране, но воспринимается глазом как действительная светящаяся точка.
