Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнения линейны и содержат два параметра д: и у и неизвестную скаларную функцию z этих же параметров; следовательно ати уравнения определяют конгруенцню прямых. Если существует такая поверхность, что линия MN прн всех значениях параметров является нормалью к этой поверхности в точке N, то уравнения (5,2) и (5,3) представляют конгруенщию нормалей; в этом случае:
Для сокращения значительную часть дальнейших вычислений выполняем в векторной форме; подробное изложение теоремы см. в книге Hand-
т. е. скаларное произведение векторов а; и drs должно быть полным, дифференциалом.
Раскрываем значение символа aL dr;.
После подстановок и приведения подобных членов представляем урав нениг (5, б) в таком виде:
(5,3>
cos ol di -t- cos (i ch)m-1- cos у = 0.
(5/4)
buch der Physik [1].
Дифференцируем уравнение
(5,3):
Y
и умножаем обе части этого уравнения скаларно на вектор aj:
Скаларное произведение а2 dr есть левая часть уравнения
(5,4) и означает косииус угла между нормалью и касательной, т. е. оно равно нулю. Так как длина вектора всегда равна единице, то а;2 — 1 в а, с/а, —0. Таким образом уравнение (5,5) дает:
ад a, dr -*- /ад da^ a,2 dl. (5,5)
dr — dre +- Ids^-t-a, dl.
x
¦Рис. 5.
dl— — aj drs, (5,6)
a. dr, — cos x dx -+- cos % dy cos у dz. Из уравнения (5,1) находим:
или, пользуясь обозначениями (3,4):
dz — pdx-f- qdy.
dl~ — (cos y.rt-p cos y) dx—(cos b *- q cos y) dy. (5,7)
6. Каустические линии и каустические поверхности
15.
Правая часть является полным дифференциалом, если выполнено условие:
(''r (cos $+ q cos у) = ^ (cos а ч- р cos у ). (5,8)
В этом случае совокупность прямых, определяемая уравнениями (5,2), есть конгруенция нормалей.
Интегрируя уравнение (5,7), находим функцию /:
/•= С— J |(cos х +- р cos у) eta -I- (cos 3 •»- 9 cos у) </у!; (5,9)
постоянная интегрированная С является параметром, определяющим совокупность бесконечного числа „параллельных** поверхностей, пересекающих данную конгруенцию во всех точках под прямым углом; конгруенция прямых, удовлетворяющая условию (5,8), может быть рассматриваема как совокупность световых лучей, связанных с определенной световой волной, распространяющейся в пространстве.
§ 6. Каустические линии и каустические поверхности
Геометрическое место центров кривизны главных нормальных сечений поверхности образует, очевидно, две поверхности: на одной находятся центры кривизны первых главных сечений, на второй—центры вторых главных сечений. Эти поверхности называются поверхностями центров кривизны или поверхностями эволют данной поверхности; аналитически можно рассматривать единственную поверхность о двух полостях. Нормаль в каждой точке данной поверхности является общей касательной к обеим поверхностям эволют.
На рис. 6 представлена часть поверхности W, на которой проведены две системы линий кривизны, т. е. линий, бесконечно малые элементы которых находятся в нормальных плоскостях главных сечений поверхности.
Точка Р поверхности гиперболическая; поэтому центры кривизны главных сечений в этой точке расположены по обе стороны поверхности в точках М и М2; R,Mt и R2M.2 суть эволюты главных сечений поверхности РК1 и РК2. Обе эволюты расположены на поверхностях центров кривизны С1 и С2.
16
Глава f. Основные законы геометрической оптики
Как было показано, центры кривизны главных сечений суть точки пересечения двух бесконечно близких нормалей, расположенных в этих сечениях; прочие бесконечно близкие нормали не пер^рекаются между собою; поэтому в случае световой волны около центров кривизны ее поверхности, т. е. у фокальных точек сосредоточивается больше световой энергии, чем в других соседних точках: на бумаге, помещен* ной на пути распространения световой волны после прохождения ее через линзу, стеклянный сосуд с водой и т. п., легко наблюдаются сечения поверхности эволют в виде ярких фигур. В опыте эти поверхности обычно называют каустическими поверхностями, их сечения плоскостью — каустическими линиями; каустический по гречески жгучий.
Hi рис. 7 представлен один из самых простых случаев, часто встречающихся в действительности, когда поверхность волны W W есть поверхность вр»щения вокруг оси MQ\ одна из каустических поверхностей /?0S в Э!Ом случае есть также поверхность вращения, образованная вращением каустической кривой RQS, которая в этом случае есть эволкиа кривой WW\ другая каустическая поверхность вырождается в прямую PQ—отрезок оси симметрии. Кривая RQS может иметь гораздо более сложне й вид, может состоять из нескольких ветвей и т. д.; равным образом втора-i каустическая поверхность может иметь такой же сложный вид, как и первая, а не сводиться к прямой, как на рис. 7.
Первый основвой закон геометрической оптики состоит в утверждении, что между двумя точками однородной изотропной среды свет распространяется по прямой, соединяющей эти точки, иными словами:
w
Рис. 7.
§ 7. Закон прямолинейного распространення света
§ 8. Закон независимого распространения лучей
17
все лучи света в однородной изотропной среде суть прямые линии. В виду общеизвестности физических оснований этого закона можно ограничиться лишь напоминанием об обычных применениях этого закона для объяснения тени и полутени, в частности явления затмений, солнечных и лунных; все самые точные астрономические, геодезические и многие другие измерения основаны на признании этого закона абсолютно точным законом природы. При возникновении волнообразной теории света прежде всего потребовалось объяснить факт прямолинейного распространения света, особенно в виду того, что звуковые волны огибают препятствия, и потому звук не всегда распространяется по прямым линиям. Как известно, Гюйгенс дал принцип, согласно которому можно построить поверхность волны в данный момент времени, если известна поверхность волны в какой-нибудь предшествующий момент и известна скорость распространения света в среде. Из этих построений вытекает прямолинейность распространения света в изотропной среде при отсутствии преград и экранов; на основе принципа Гюйгенса Френель создал волновую теорию света, хорошо объяснявшую явления распространения света во многих сложных случаях. Опыт показал, что закон прямолинейности распространения света не применим к случаям, когда на пути лучей света помещается преграда в виде края непрозрачного экрана, нли, еще резче, при прохождении света через узкие отверстия. Если в случае, изображенном на рис. 1, взять диафрагмы с отверстиями очень малого диаметра, то вместо того, чтобы сделать световую трубку близкой к геометрическому лучу посредством уменьшения сечения трубки, мы будем наблюдать сложное явление дифракции, состоящее в том, что глаз, смотрящий через второе отверстие на сильно освещенное первое, увидит ряд цветных довольно ярких колец, расположенных вокруг отверстия. Опыт удобно производить с двумя узкими щелями, нз которых первая сильно освещается матовой лампой или, еще лучше, заменяется раскаленной нитью лампы, а у второй можно менять ширину в широких пределах; при достаточно узкой щели глаз увидит по обеим сторонам нити цветные полосы, напоминающие спектры, но с иным расположением цветов. Таким образом световые лучи, проходя узкую щель или вообще узкое отверстие, отклоняются от прямолинейного пути, образуя расходящиеся пучки; углы отклонения лучей различного цвета различны, и яркость лучей в различных направлениях неодинакова.
