Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
П :
А' -
АА'
(13,1)
Для перехода к алгебраическим уравнениям воспользуемся следующими очевидными уравнениями:
А = cos a i -+- cos р j -+- cos у к;
А' = cosx'i -н cos (3'j -4- cos у'к;
A A' — cos a cos x'-t- cos|3 cos [s' -+- cos у cos у';
n = cos 9 i -+- cos ф j H- cos ^ k.
Вводим обозначение:
¦ = 2y/l — AA\ (13,2)
и находим:
cos 9 = p (cos a'— cos a), | cos ^ = p (cos — cos (3), К 13,3) cos f = p (cosy' — cosy). J
б) В качестве второго примера рассмотрим следующую задачу.
Пус^ь на плоскость ХО К(рис. 15), разделяющую две среды с показателями <л и и.', падает луч, определяемый единичным вектором А; найдем вектор А', определяющий отраженный луч в первой среде, и вектор А", определяющий преломленный луч во второй преломляющей плоскости XOY. Нормаль в точке падения определяется вектором п, направленным по оси OZ в отрицательную сторону навстречу падающему лучу А; угол падения /есть угол между вектором А и осью OZ, угол преломления /' — угол между вектором А" и осью OZ; угол отражения i—угол между вектором А'и нормалью п. Векторы А, А' и А" и ось OZ лежат в одной плоскости — компланарны. Назовем угол между вектором А и его проекцией на плоскость XOZ буквой 0, а угол между этой проекцией и осью OZ буквою о. Тогда для вектора А и его слагающих Аг, Ау, А, можно написать следующие соотношения:
А = Дс * Ау j ч~ Аг к;
A,.— cos о sin?; ^4^ = sin 0; A —cos $ cos 9;
так как величина вектора А единица, то Ах, Ау, А, суть косинусы углов, образуемых вектором А с координатными осями.
Рис. 15.
среде, расположенной выше
28
Глава /. Основные законы геометрической оптики
Нориаль п определяется уравнением:
п =— к;
очевидно, что
Ап = — Аг = — cos & cos <р.
Для нахождения вектора А' отраженного луча применяем уравнение (12,4); это дает:
AJ 1 + + = 1 cos a sm 9 -t- j sin » — к cos ft cos <р.
Итак
А >— л . и ; и . А' —__________А
f у у > ,Й * * /
Так как координатные оси ОХ и О У выбраны совершенно произвольно то первое и второе уравнения приводят к положению: дадающий и отраженный лучи ббразуют равные углы со всякой прямой, проведенной через точку падения перпендикулярно нормали к отражающей плоскости в этой точке. Далее, из первого и третьего уравнений следует, что проекция падающего и отраженного лучей на любую нормальную плоскость, т. е. на плоскость, проведенную через нормаль, также следуют закону отражения
Введем для определения слагающих вектора А", определяющего преломленный луч, такие же углы, как д и ?) но обозначим их буквами О' и <р'; на рис. 15 эти углы не показаны, чтобы не усложнять чертежа. Как и для вектора А, можно написать:
А"= A/i -+- А”\ -+- А," к,
где:
А* — cos *>' sin AJ=sin Д"—cos cos<?'.
Уравнение (12,6) в данном случае дает:
u^icosSsin^-t-j sin ft} = [*.'{i cos S'sin ?' ¦+- j sind'J* из этого следует:
u. cos & sin 9 = и/ cos sin 9',
[a sin& = (i' sin Кроме того по закону преломления:
[л sin г = [a' sin i
Первое из этих трех уравнений может быть представлено в таком виде:
т. е. косинусы углов падающего и преломленного лучей с какой-нибудь прямой, проведенной через точку падения перпендикулярно нормали в точке падения, обратно пропорциональны показателям преломления обеих сред. Так как углы 9 и о' суть углы между нормалью и проекциями
$ 74. Распространение луча в среде с изменяющимся показателем преломления 29
лучей падающего и преломленного на нормальную плоскость, то первое уравнение в то же время показывает, что названные проекции также преломляются по закону преломления, т. е. отношение синуса угла падения к синусу угла преломления остается постоянным, но эта постоянная зависит от угла между лучами А и А" и нормальной плоскостью, а именно: вместо показателей преломления и |ь' нужно взять величины p-cosS и \J- cosd', постоянные для данного значения угла
Наконец второе уравнение дает, что синусы углов между лучами падающим и преломленным и нормальной плоскостью также обратно пропорциональны показателю преломления, как и синусы углов падения и преломления / и
Геометрические выводы изложенных положений можно найти в книге: S. Czapski и. О. Eppenstein [2]; W. Merte воспользовался для вывода уравнениями аналитической геометрии в книге: Handbuch der Physik[2].
Приводим список формул и уравнений векторной алгебры, которыми приходится пользоваться при выводах и в применениях законов геометрической оптики в векторной форме.
Разложение вектора по направлениям ортов i, j, k:
А= Axi-i-Ay\-+-Ae]s. и B = -+-Д,k.
Скаларное произведение двух векторов А и В:
АВ = АВ cos (АВ) = Ах Вх -ь Ау Ву -+¦ А, Вг. Векторное произведение двух векторов А и В:
[АВ] =
i j k
Ах Ау А3 В, В„В,
- (Ау В? - Ах В,) i ь (А, Вх - Ах В.) j -ь (Ах Ву — Ау Вх) к;
[АВ] = — [ВА]; | [АВ] | = АВ sin (АВ);
А [ВС] = В [СА] = С [АВ] = [А [ВС]] = В (АС) — С (АВ). *
А* \ А,-
В2, Вг
С, Су сг
§ 14. Распространение светового луча в среде с непрерывно изменяющимся показателем преломления
В прозрачной неоднородной и неизотропной среде лучи света распространяются не прямолинейно, а по кривым линиям, которые можно назвать траекториями лучей; иногда эти кривые называют лучами. Явления криволинейного распространения света наблюдаются в атмосфере, так как показатель преломления воздуха есть функция давления и температуры, в прозрачных растворах с неравномерным распределением концентрации растворенного вещества, в неоднородных оптических стеклах и т. п.
