Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Тудоровский А.И. -> "Теория оптических приборов " -> 11

Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.

Тудоровский А.И. Теория оптических приборов — М.: Академия наук СССР, 1948. — 659 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyaopticheskihpriborov1948.djvu
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 254 >> Следующая

30
ГлЪаа I. Основные законы геометрической оптики
Во всех подобных случаях показатель преломления среды является функцией координат точки, т. е.
P=f(x,y,z).
(14,1)
Степень неоднородности характеризуется градиентом показателя преломления; как известно (напр.: Кочин [1]), градиентом скаларной функции [Л называется вектор g, определяемый уравнением:
8Г = grad р. = i -н v? j -н к;
дх
дд
(14,2)
слагающие этого вектора по координатным осям равны частным производным функции (А по соответственным координатам. Длина g вектора определяется формулой:
№¦
(14,3)
Градиент направлен в сторону наибольшей возрастания показателя преломления в данной точке среды.
На рис. 16 Sr $2 траектория луча в неоднородной среде. Через точку М траектория проводим поверхность Mr равных показателей преломления [A; MG—градиент показателя (л в этой точке, направленный по нормали к поверхности МР. Отложим в направлении MG единичный вектор п, определяемый формулой:
n—“grad [i. (14,4)
В двух точках, расположенных на траектории по обе стороны от точки М безконечно близко к ней, строим два единичных вектора а и а', направленных по касательным к траектории; для вектора а имеем:
я — — — — — к
ds ds ds J /is *
(14,5)
ds л ds J ~r~ ds
где ds — вектор, совпадающий с элементом длины траектории, ds — длина этого вектора.
Для вектора а' можно написать:
а'=а -н da, (14,6)
где da — бесконечно малая разность векторов7а' и а. Показатели преломления в точках, близких к М, имеют значения jx и (i/, причем
ц/------(1.-+- с/[л.
(14,7)
§ 14. Распространение луча в среде с изменяющимся показателем преломления 31
Векторы а и а' можно рассматривать, как лучи — падающий на поверхность МР и преломленный через эту поверхность, и применить к ним закон преломления (12,5):
у [ап] = у-' [а'п].
Подставляя вместо [л' и а' их значения (14,6) и (14,7) и пренебрегая членом второго порядка малости, содержащим произведения dy. da, находим:
\{ady. и- yda) n] = 0,
или:
\.d (pa) n] = 0.
Подставляем вместо n его значение из формулы (14,4) и принимаем за независимую переменную длину дуги s траектории, считая координаты х, у и z точек траектории функциями этой переменной. Тогда последнее уравнение может быть заменено следующим;
Ц (ра) grad а ]=0.
Векториальное произведение двух векторов, из которых ни один не равен нулю, равно нулю только в том случае, когда оба вектора одинаково направлены, т. е. когда
([«0 = А ?™d у.; (14,8)
где А — некоторый постоянный коэффициент.
Выполняем дифференцирование в левой части уравнения (14,8):
^ J^aSr::=i42radiJ'- (14’9)
Производная единичного вектора а, определяющего направление касательной к кривой Sx S2 в точке М, по дуге ds есть вектор, перпендикулярный касательной и расположенный в соприкасающейся плоскости; этот
вектор направлен по главной нормали % кривой в сторону вогнутости кривой. Из дифференциальной геометрии известно, что
где R радиус кривизны, определяемый по формуле:
Выводы можно найти в курсах К. А. Поссе [1] и Н. Е. Кочина [2].
Таким образом уравнение (14,9) можно написать так:
32
fлава /. Основные лаканы геометрической аптики
Умножим скаларно обе части этого уравнения на вектор а. Так как ап,—0 и аа=1, имеем:
J = v4(agrad^).
Раскрываем значение скаларного произведения в правой части:
, йц dx с)ц du да dz d:х
ag?ad^~
отсюда следует, что
А = 1.
Итак, уравнение (14,8) принимает вид:
^-(!J-a) = gradu.. (14,13)
Это дифференциальное уравнение в векторной форме определяет траекторию луча, если показатель преломления и. может быть ^представлен известной функцией координат х, у n z согласно формуле (14,1).
Уравнение равносильно трем уравнениям в декартовых координатах:
d I dx \___df*
ds V сIs) дх ’
d I dy\ djj.
js'^dlj^dT’ (14,14)
d I dz\ d(ji
ds ^ ds } dz
Умножив обе части уравнения (14,12) скаларно на вектор получаем:
-?¦= ni grad |t.
Правая часть есть проекция вектора градиента на направление нормали п, и потому равна ^ ¦
Итак:
<14-15>
Центр С кривизны расположен на нормали их в той ее части, где показатель преломления больше; луч света искривляется в направлении возрастания градиента показателя преломления. Подробное рассмотрение вопроса о преломлении в среде переменной плотности см. в книге Heath [2].
Применим выведенные формулы к частному случаю, когда показатель преломления зависит только от одной координаты, напр., когда луч распространяется в слое воздуха над очень большой нагретой плитой, и показатель преломления определяется формулой
$ 14. Распространение луча в среде с изменяющимся показателем преломления 33
ди. <)и. „ дц
тогда и ^=g— величине градиента показателя преломле-
ния, зависящей только от координаты у.
Обозначим буквой о угол между касательной к траектории луча и осью х-ов; имеем:
dx . dy
cos 9 — ~js и sin 9 -j— •
Интегрируем уравнения (14,14) и находим:
(14,16)
dx
j; — [’¦ cos 9 = <л0 cos 90,
dy
y. — y. sin 9 = \}.a sm o0 -i- gs;
и o0 значения функций у и 9 в начальной точке траектории, для которой S = 0.
Траектория — плоская кривая, расположенная в плоскости XOY.
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 254 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed