Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Во всех точках траектории, согласно уравнению (14,15), для радиуса кривизны R имеем:
*-=^-cos?. (14,17)
Далее из первого уравнения (14,16) находим:
;j.0 cos Фо COS s = —” )
* ;j.
а следовательно:
dy _ t _ 1 \/(Л2 —;V cos2 Од .
dx ® ^ Ho cos 9U ’
знак радикала должен быть таким,, как и знак tg*.
Интегрирование уравнения дает:
*= I , 2—(14,18)
у.у—(л02оо5290
У
возможность вычисления интеграла определяется видом функции «А Предположим, что показатель преломления [л равномерно возрастает по вертикали вверх, т. е. что
:л = [л0 -+-g(y — yu), (14,19)
где g постоянный градиент показателя у. Тогда интегрирование легко выполняется, но получаются формулы весьма неудобные для вычисления. В случае малых значений градиента g удобнее пользоваться приближенными решениями, исходя из уравнений (14,16) и (14,17).
Показатель преломления у- воздуха для средней длины волны видимого спектра может быть представлен формулой
л 0.000294 р ,л ,
;1-’--1Г(Г77 -’4’ (14,20)
3 А. И. Тудоровский
34
Глава I. Основные законы геометрической оптики
где р—-упругость воздуха в миллиметрах ртутного столба, t — температура по шкале Цельсия и % — коэффициент расширения воздуха»
равный gTj •
Из формулы (14,20) легко находим:
^•=-^-1)-, hr’
или с достаточной степенью точности:
I1 =_(*_!) а. (14,21)
Предположим применительно к рассмотренной выше задаче, что температура воздуха равномерно убывает по вертикали вверх, т. е. что
dt_______
dy ’ *
где т — постоянная, равная абсолютному значению градиента температуры. Тогда величина градиента g показателя преломления определится формулой:
(НИ)
Прн нормальных условиях, т. е. когда р—760 и ^ = 0, g~0.000294X Х0.00366 т —1.08 • Ю_6 • т; таким образом численное значение градиента g весьма мало. Поэтому радиус кривизны траектории луча, проходящего неравномерно нагретый слой воздуха, вссгда очень велик, как это видно из формулы (14,17).
Из той же формулы видно, что кривизна -g траектории имеет наибольшее значение, когда направление луча, т. е. направление касательной к траектории, составляет прямой угол с направлением градиента показателя и., когда <р = 0. Кривизна равна нулю, когда направление луча совпадает с направлением градиента: 9 = 90°, R— оо; луч проходит
в этом направлении без искривления.
Вычислим отклонение Ао, испытываемое им после прохождения дуги s траектории; эта дуга близка к прямой и еще ближе к дуге окружности, так как радиусы кривизны в разных точках дуги мало отличаются один от другого. Поэтому изменение направления луча, т. е. изменение А<р угла 9 касательной с осю лг-ов, можно вычислить с большой точностью по формуле:
к * S
До = =— s cos 9;
но SCO&9 — X, так как дуга s мало отличается от прямой.
Итак
A 9=f~gx; (14,23)
угол отклонения лучей не зависит от нх направления: если слой воздуха нронизывается пучком лучей различного направления, то все лучи пучка поворачиваются на один и тот же угол До.
§ 15. Закон Малюса — Дюпена
35
Тот же результат можно получить из уравнения (14,16). Первое из этих уравнений есть закон преломления:
и. cos 9 = у cos o' = пост.
Дифференцируя это уравнение и заменяя dy. и dp малыми конечными разностями Ли. и Д<р, находим:
Ли. cos о — и. sin <рЛо = 0.
Отсюда имеем:
Ао==_^_ = (*„_*,),
Mg? (i/a — J/i) Ц '
т. е. снова формулу (14, 23).
Если градиент температуры в воздухе т равен 0.1 градуса на 1 см, то ?=1.1Х10~7; после прохождения одного метра в воздухе луч отклонится на угол, равный 1.1х10~5 радиана, т. е. 2''3.
§ 15. Закон Малюса — Дюпена
Положим, что в пространстве задана конгруенция нормалей, образующих систему световых лучей некоторой поверхности волны; радиус-вектор г точки (рис. 17) на этой поверхности определяется уравнением (5,3), т. е. уравнением:
г = г,-ь/а,, (15,1)
где векторы г, и а, являются функциями двух параметров х и у, а скалар-ная функция / тех же параметров определена формулой (5,9)..
Положим, что вспомогательная поверхность S (рис. 5) отделяет две
прозрачные среды с различными показателями преломления а и [л;
тогда луч а, преломится в точке М и во второй среде его направление определится вектором а,'. Откладьфаем в направлении преломленного луча вектор /'а/, где I’ — неизвестная скаларная функция тех же параметров х и у; точка N' на конце этого вектора определяет вектор г', для которого имеем:
r—rs-t~r а,'. (15,2)
Дифференцируя это уравнение и умножая обе части полученного уравнения скаларно на а/, находим, как и раньше в §5:
a,'f/r' — a/r/r. -ь dl’.
Согласно уравнению (5,6) для вектора а, мы имеем:
аг dr . I- dl ~ 0. (15,4)
Скаларные произведения а3 с/r,, и а,’dr. равны косинусам углов между дугой dr, нормального сечения преломляющей поверхности S и обоими лучами; следовательно они равны синусам углов падения и преломления и по закону преломления удовлетворяют уравнению:
(15,3)
у-а3 ?&•„ = у'a,'dr я
(15,5)
36
Глава L Основные законы геометрической оптики
Подставляя в это уравнение вместо а 1сйгя его значение — dl из уравнения (15,4), находим:
Я1 drs—— j?dl;
подстановка этого значения скаларно го произведения в уравнение (15,3) дает:
