Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
суммы отрезков для которых точка С, бесконечно близкая
к точке В, не есть точка отражения. Для доказательства строим точку
А/ на перпендикуляре A2D таким образом, что A2D~DA^\ тогда
§ 16. Принцип Ферма\ замечания об эйконале
39
А2В — Л2В и А2С=А2'С; точки Аг, В я А2' лежат на одной прямой. Очевидно, что длина ломаной линии АХСА2 больше длины прямой АА2, т. е.
ДС I - с а; > А~В -ь ВА!.
Отсюда следует, что
А,С?-+- СА^> АХ~В I-ВА2.
В качестве второго примера рассмотрим преломление луча Ах В (рис. 19) через плоскость ВС, разделяющую две среды с показателями преломления п и п'; после преломления луч проходит через точку Ав. Проводим бесконечно близкие пути А}С и СА2; для них можно написать из треугольника А}ВС следующее соотношение:
Afi1 = А, В1 ч- ВС1 -л- 2А~В • ВС sin г,
или
А]С2 = (А1 В-+-ВСsin г)'2 • - ьСг cos2 i.
Из этого уравнения вытекает следующее неравенство:
Л]С> В-н sin/)
или
пЛ, C>/i/lj5-i-n5Csini.
Из треугольника А2ВС подобным же путем приходим к неравенству:
п Л2С> п' Ао В — п’ ВС sin i'.
Складывая оба неравенства, получим:
/ъ4,С-1- п'Л2С> пА] В-ьп' А2В.
Подобные неравенства можно получить также и для других ломаных линий, соединяющих точки А, и А2; напр., для ломаной линии, проходящей через точку, лежащую на преломляющей плоскости по другую сторону от точки В влево от нее, иди через точку, не лежащую в плоскости преломления. Таким образом в случае преломления сумма/, в формуле (16,1) имеет минимум для путей А}В и ВА2, удовлетворяющих закону преломления. Можно указать случай, когда интеграл L имеет максимум для пути, соответствующего истинному ходу лучей.
Так как распространение светового луча в среде с непрерывно изменяющимся показателем преломления определяется теми же законами преломления, то, очевидно, что принцип Ферма должен быть обобщен для всех возможных случаев прохождения луча в каких угодно средах.
Если вторая точка в последней среде является оптическим изображением первой точки в первой среде, тогда всякий луч, проходящий через первую точку, проходит также и через вторую точку; оптическая длина хода для всех таких лучей между обеими точками одинакова: световые колебания, вышедшие из первой точки, приходят во вторую точку с одинаковыми фазами.
40
Глава /. Основные законы геометрической оптики
Принцип Ферма непосредственно следует из закона Малюса. Покажем это в простом случае преломления луча Рг М (рис. 20) через поверхность S, разделяющую две среды с показателями преломления п и п; луч проходит через точки Pv и Р2. Соединим точки Pv и Р2 произвольной ломанной линией PxRP2 и проведем через точку R поверхность волны RN, принадлежащую к семейству поверхностей волн, ортогональных лучу P\N. Через точку М проводим поверхность преломленной волны MOQ. Согласно принципу Малюса такая поверхность существует; она ортого-
Проведя поверхности волн, мы разбили оба пути между точками Рх и Рг на три группы отрезков: PtN и Р{ R; NM и RO, ОР2 и МР2; предполагаем, что углы между отрезками 9,, <р2 ORQ) и 93 бесконечно малые первого порядка. Поэтому дуги RN и ОМ мы можем считать отрезками прямых.
Из треугольника PfiN находим:
P[R—P,N= 2/yVsms Ц = \ PJV'rf,
а следовательно:
nPJi — nPJV= у nF\NPl\ (16,3)
RQ есть путь, проходимый лучом во второй среде за то время, когда в первой среде луч проходит отрезок NM; следовательно, оптические длины обоих отрезков одинаковы, т. е.
nNM = n’RQ.
§ 16. Принцип Ферма; замечание об эйконале
41
Из треугольника RQO имеем:
RO — RQ=L±'RO?*.
Следовательно:
п R0— пШ^ у п' Ш <р Д
Наконец из треугольника ОМР2 находим:
п' ОРг — п' МР2 ~ у п' МР2 ?Д
Складываем уравнения (16,3), (16,4) и (16,5) и находим:
з
(nPji + n'RP, j — (пР ~M-v-п'Щ-) =у V /,<рД
1
где для краткости I, — оптическая длина участка истинного пути луча, ®4. — угол между участками обоих путей: истинного и возможного. Итак, опти^егкая длина истинного пути луча меньше оптической длины бесконечно близкого геометрически возможного пути на величину второго порядка, т. е. оптическая длина истинного пути имеет минимальное значение из всех бесконечно близких возможных значений.
Очевидно, что изложенное рассмотрение может быть применено к какому угодно сложному случаю прохождения луча через несколько сред, и, следовательно, можно считать доказанным, что принцип Ферма может быть выведен из закона Малюса — Дюпена.
Обратно: исходя из принципа Ферма, можно получить законы
отражения и Преломления; соответственный вывод закона преломления для простого случая имеется в книге Handbuch der Physik, [3]; выводы в общем случае в книге: S. Czapski и О. EpDenstein [1].
Равным образом закон Малюса может быть выведен из принципа Ферма (см. там же).
Таким образом, в качестве исходного положения геометрической оптики может быт{> принят любой из трех законов: закон отражения н преломления, закон Малюса — Дюпена, принцип Ферма; каждые два из этих законов могут быть рассматриваемы как следствие третьего.
Интеграл L в формуле (16,1) можно, рассматривать как функцию координат точек 1 и 2 и как функцию углов,‘определяющих направления лучей. Совокупность сред, проходимых лучом из точки 1 в точку 2, с. преломляющими и отражающими поверхностями может быть сложной оптической системой определенной конструкции; тогда вид и свойства функции L определяются этой конструкцией. Только в простых случаях эту функцию можно представить в явном виде аналитически. Гамильтон, назвавший эту функцию характеристической, изучал ее общие свойства (1828) и показал, что она удовлетворяет некоторым дифференциальным уравнениям, и что из ее свойств вытекают основные положения геометрической оптики и многие общие свойства оптических систем. Брунс (1895) и Шварцшильд (1905) рассматривали функции, которые могут быть получены из характеристической функции Гамильтона соответствующими преобразованиями и которые были названы ими эйконалами.
