Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
а/ dr, =«//' — ~r dl=jrd(u' V - (Л).
Если длину V отложать равной ^rl, т. е. если y-'l’—v./, то a,Vra = 0.
Следовательно, точка находится на поверхности, ортогональной к прямой MN'i геометрическое место точек, расположенных на преломленных
лучах на расстояниях /
от точек преломления, является поверхностью преломленной волны.
Мы знаем, что законы отражения можно получить ив законов преломления, полагая в этих последних равным — р; поэтому доказанная теорема справедлива так же и в том случае, когда лучи, падающие на поверх-г ностъ S, отражаются от нее по законам отражения. Далее очевидно, что теорема остается справедливой для какого угодно числа отра-*ений и преломлений.
Итак, конгруенция световых лучей (нормалей к поверхности волны) после отражения и преломления их какими угодно поверхностями и в любом числе их сохраняет свойства конгруенции, т. е. лучи какой-нибудь поверхности волны после любого числа отражение и преломлений остаются совокупностью лучей, связанных с определенной поверхностью волны в последней среде.
Теорема была доказана впервые для частных случаев Малюсом в 1807 г. и Дюпеном около 1817 г.; эта теорема в общем виде была введена в теорию поверхностей дифференциальной геометрии. Вывод имеется в книге Heath [1].
Построим в первой и в последней средах, проходимых данной кон-груенцией лучей, две какие-нибудь поверхности волны из бесконечного числа их; фазы световых колебаний во всех точках каждой поверхности волны одинаковы; поэтому разность фаз колебаний в двух точках обеих поверхностей одинакова для любой пары таких точек.
Как известно, разность фаз <р в двух точках, расположенных на луче в какой-нибудь среде, выражается формулой:
$ 16. ПpuHuiiTi Ферма; замечание об эйконале
37
где I—разность хода луча или длина луча между заданными точками среды и X' — длина волны света в данной среде. Для длины волны X того же луча в пустоте имеем:
~К = лУ,
где п — показатель преломления среды. Поэтому
9 __ nl
2тГ Т 5
произведение из показателя преломления п на длину / хода луча называется оптической длиной луча или приведенной длиной его. Так как показатель преломления п равен отношению скоростей распространения света в пустоте (с) и в данной среде (v), то приведенная длина хода /0 определяется формулой:
Но отношение равно i — времени прохождения лучом в среде пути /;
поэтому l0 = ct, т. е. приведенная длина пути /п есть путь, проходимый •ветом в пустоте в то время, в течение которого луч в данной среде проходит путь длиною /.
Возвратимся к случаю, когда луч проходит несколько сред от одной точки, лежащей на поверхности волны в первой среде, до другой точки на поверхности волны в последней среде; для краткости назовем эти точки соответственными. Оптическая или приведенная длина L хода луча между соответственными точками обеих поверхностей волны в первой и последней среде выражается формулой:
i—p г=1
где п, — показатель преломления среды с номером г, /, — длина хода луча в этой среде, р — номер последней среды.
Если луч проходит среду с непрерывно изменяющимся показателем преломления, то для оптической длинь? хода луча получаем формулу:
i
L J ndl.
о
§ 16. Принцип Ферма; замечание об эйконале
Положим, что световой луч проходит две какие-нибудь точки пространства, в котором расположены какие угодно прозрачные или отражающие среды; в общем случае показатели преломления отдельных сред могут изменяться непрерывно внутри среды или изменяться скачком на границе двух сред.
Допустим далее, что вторая точка не есть оптическое изображение первой точки, т. е. всякий, хотя бы и близкий, луч, проведенный через первую точку, в последней среде не проходит через вторую точку.
(15,8)
(15,7)
(15,6)
38
Глава /. Основные законы геометрической оптики
Построим между теми же двумя точками два возможные геометрически пути, состоящие из отдельных отрезков ломанных или кривых линий, ограничив их построение единственным условием: все участки этого пути образуют с соответственными участками истинного хода луча малые углы первого порядка малости и проходят на малых расстояниях от истинного пути. Вычислим для обоих путей — истинного луча и бесконечно близкого к нему — оптическую или приведенную длину хода по формуле (15, 8):
2
L=Jnrf/. (16,1)
1
Принцип Ферма утверждает, что оптическая длина второго геометрически возможного пути отличается от оптической длины первого
Рис. 18.
на величину второго порядка малости, т. е. оптическая длина истинного хода луча имеет экстремальное значение. Пользуясь термином вариационного исчисления, мы можем формулировать принцип Ферма следующим образом: первая вариация определенного интеграла L обращается в нуль, т. е.
%
bL = b jndl^O; (16,2)
1
в зависимости от знака второй вариации того же интеграла функция L для истинного хода луча имеет минимальное или максимальное значение.
Принцип Ферма является следствием основных законов оптики— законов отражения и преломления, как это видно из нижеследующих
простых примеров. ___
В случае отражения луча от плоскости (рис. 18) сумма A{B -+- ВАг, соответствующая ходу луча по закоиу отражения, меньше всякой другой
