Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
п(р — «) = — п(р — ®'),
или:
(65.2)
(65.3)
202 Глава VI. Преломление через сферическую поверхность и отражение от нее
Рис. 108 дает ход падающего и отраженного луча в случае вогнутого зеркала. Из рассмотрения рисунка ясно, что согласно правилу знаков все величины г, s и s' в уравнения (65, 3) отрицательны; поэтому обычно для вогнутого зеркала за положительное направление принимают направление распространения отраженных лучей, т. е. все эти величины считают положительными, что не изменяет вида формулы (65,3), совпадающей с формулою, обычно приводимой и подробно исследуемой в учебниках физики. В случае выпуклого зеркала при таком условии радиус зеркала нужно считать отрицательным.
Рис. 108.
На том же рис. 108 построены сопряженные отрезки PS( = l) и P’S' (=— Г) в соответствии с рис. 106. Из треугольников PSC и P’S’С находим:
—s' — г
I Г — S
Приняв во внимание уравнение (65,3), легко выводим:
е — il л
Треугольники MKS и MKS' дают:
h=su = s'u'.
Сопоставление последних двух уравнений приводит к уравнению:
/ц=
т. е. к уравнению (63,2), полученному непосредственно из закона Лагранжа—Г ельмгольца.
§ 66. Астигматизм элементарных пучков в случае сферической поверхности 203
§ 66. Астигматизм элементарных п к°в лучей при преломлении через сферическую пове ность. Форм ы нга
В рассмотренных до сих пор случаях преломления элементарного (бесконечно тонкого) пучка лучей через сферическую поверхность ось пучка была направлена по нормали в точке падения, напр, у пучков, изображенных на рис. 105. В этом случае элементарный гомоцентрический пучок остается гомоцентрическим; если же ось пучка образует конечный угол с нормалью (радиусом) в точке преломления, то, как и в случае преломления через плоскость (§ 42), преломленный пучок лучей делается астигматическим, в чем легко убедиться следующим рассмотрением.
На рис. 109 изображен плоский элементарный пучок QM,M2, находящийся в меридиональной плоскости QM,CM2; точка С — центр преломляющей сферической поверхности. Все углы обозначены так же, как
на рис. 102 и 103 с соблюдением правила знаков и условия об отметках углов и отрезков на рисунках. Оба бесконечно близкие луча QM1 и QMZ после преломления пересекаются в точке lJ и их продолжения пересекают диаметр сферы в точках Qi и Q2. Если весь рисунок повернуть на весьма малый угол вокруг линии QC, то узкая полоска лучей QMXMZ опишет элементарный телесный угол, а точка Р опишет элементарную линию, перпендикулярную плоскости рисунка, т. е. меридиональной плоскости; очевидно, что эта линия есть первая фокальная линия астигматического пучка: все лучи этого пучка проходят через точки этой линии. Так как в то же время все лучи пучка, образованного бесконечно малым поворотом полоски QM1M2 вокруг оси QC, проходят через точки отрезка QiQ2, то этот элементарный отрезок есть вторая астигматическая линия пучка. Точка Р есть точка схождения меридионального элементарного пучка, точка Qx — точка схож деиия сагиттального элементарного пучка. На рис. 110 изображен плоский элементарный пучок , лежащий
в экваториальной плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка, и образованный элементарным вращением рис. 109 вокруг оси QC. Следует обратить внимание на то, что сопряженные точки схождения сагиттальных пучков Q и через которые проходят все лучи пучка, и центр С преломляющей сферической поверхности лежат на одной прямой.
204 Глава У/. Преломление черев сферическую поверхность и отражение от нее
Обратимся снова к рис. 109. Назовем расстояние точки Q от точки преломления буквою tm (в данном случае iw < 0), а расстояние фокуса Р меридиональных лучей от той же точки буквою im' и найдем зависимость между этими величинами. Построим элементарные дуги Мх N, и Мг Nt радиусами tm и <„/; очевидно, что
длина дуги окружности Мг М2 также может быть выражена формулою
Для этих элементарных дуг с точностью до величин высших порядков малости можно написать:
Заменяем dy на основании уравнения (60,6) равными ему разностями: du —di' в первом равенстве и du — di во втором; после приведения находим:
•Находим из этих уравнений du' и du и составляем их разность; это дает:
В силу того же уравнения (60, 6)
da' — du — di' — di\ после подстановки в предыдущие уравнения и приведения находим:
—tmdu и M1N2^inl'du';
М2=rdf.
tm' du' = r cos i'do\ tm du = r cos / df.
Рис. 110.
(r cos Г — <„/) dur = г cos i'd?, (r cos i — fm) du = r cos i di,
r cos i — tm
r cos i di
r cos i’—tm’ r cos i — tm
По закону преломления:
n' sin/' = n sin i\
эвом из них выводим за скобки показатель пре;
506 Глава VI. Преломление через сферичееидю поверхность и отрешение от Неё
Заменяем отношения показателей отношением синусов из закона преломления: /I'sin/' — пsin/. Приведением к одному знаменателю и обычным преобразованием в числителе получаем:
г •/ • nein(i — г') /сс
п cos г — п cos г — —^-р—- > (об, 3)
илн
/ •/ • n' sin U—'i') ice.
п cos г — п COS 1 = — -—- • (Об. 4)
Bin I х J /
Часто применяется другое преобразование при помощи уравнения:
о ¦ * — >' i i'
/ , . . ./ 2 sin —к— cos —-—
