Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 62. Изображение точки при преломлении через сферическую
поверхность в общем случае. Параксиальные лучп; „нулевой"
инвариант Аббе
Если светящаяся точка не принадлежит к паре апланатических точек преломляющей сферической поверхности, то положение точки пересечения луча, вышедшего из этой точки, с линией, соединяющей светящуюся точку с центром сферы, определяется отрезком s' в формуле (60,1), зависящим от величины s' является в этом случае функцией угла <2. Подставив в уравнение (60,1) вместо р и р их значения из уравнения (60,4) и (60,5), находим:
решив это квадратное уравнение относительно г — s', находим искомую зависимость s' от угла о при заданных г и s.
Для тонкого пучка лучей, для которых угол о имеет очень малые значения, длина отрезка s' определяется формулою (61,4), которая получается из только-что написанной, если принять, что cos f — 1; в этом случае s' имеет одинаковое значение для всех лучей пучка, т. е. пучок можно считать гомоцентрическим. Лучи, принадлежащие такому пучку с весьма малым углом растворения и и потому мало удаляющиеся от оси ОС на рис. 102 и 103, часто называются лучами параксиальными. Сохраним для отрезка OS', определяемого формулою (61,4), обозначение s', а значение того же отрезка в случае конечных углов 9 в формуле (62,1) в отличие от отрезка параксиальных лучей отметим чертою сверху, т. е. обозначим символом s'. Разность s'— s' имеет тем меньшее абсолютное значение, чем меньше угол f. Можно представить эту разность в виде суммы членов бесконечного ряда, расположенного по степеням угла о. При перемене знака угла <? (рис. 101 и 102) величина s' не изменяется, т. е. луч, симметричный лучу SM и идущий ниже линии SC, пересекает эту последнюю в той же точке S'; поэтому в разложение разности s' — s не должны входить нечетные степени угла 9. Итак, s' можно представить следующей бесконечной суммою:
п (s — г) ___ ____ 1
\/{r - s)'--I-г* — 2r (r — s) cos т '"(г—
п Is
(s' - - г)
'1т{>— s') cos с
(62,1)
коэффициенты А, В, С. . . зависят от величин г, s и s'.
§ 62. Изображение точки при преломлении через сферическую поверхность 193
Таким образом, гомоцентрический пучок лучей после преломления через сферическую поверхность перестает быть гомоцентрическим; лучи пучка не собираются в одну точку. В этом случае изображением точки в условном смысле можно считать кружок рассеяния в месте наименьшего сечения преломленного пучка или в месте наибольшего сосредоточения световой энергии. Допустимые размеры диаметра этого кружка или диаметра кружка наибольшей яркости определяются условиями пользования таким „изображением"; вопрос о распределении энергии в таком кружке рассеяния будет рассмотрен впоследствии.
При малых значениях углов и и о преломление через сферическую поверхность пучка гомоцентрических лучей дает изображение точки, положение которого определяется отрезком s' по формуле (61,4). Умножим
обе части этого уравнения на у и выполним деление на произведения rs
и г s'; тогда получим:
“(>—т)=“'(т-г)- <62-2>
Если величины, обратные отрезкам, которые обозначены буквами латинского алфавита, обозначать соответственными буквами греческого алфавита, т. е. если ввести следующие обозначения:
-1=5 и J-—5'
г ' ’ s s' ’
то уравнение (62,2), обе части которого имеют инвариантную форму относительно всех величин в обоих пространствах предметов и изображений, примет вид:
<? = п( р— *) = п' (? — <т'). (62,3)
Буквою Q обозначен инвариант га (о — ^), носящий название „н у л е в о г о“ инварианта Аббе.
Если умножить обе части уравнения (62,2) или (62, 3) на величину Л, равную отрезку МК на рис. 102 и 103, то получим:
При достаточно малых значениях углов о, и и и', для которых имеет
место это уравнение, все отношения в скобках равны углам, а именно:
— ~о; -- — и и А-~и'; (62,4)
Г S S
после подстановки этих углов в предыдущие уравнения получим:
Qh п (о — и)—п' (о — и').
Принимая во внимание уравнение (60,6), находим:
Qh= — nz — — n'i', (62,5)
т. е. приходим к основному инварианту преломления (10,4) для малых углов г. Таким образом инвариант Аббе может быть выведен непосредственно из закона преломления обратным изложенному путем.
13 А. И. Тудоровский
i94 Глава VI. itреломление через сферическую поверхность и отражение отА Htt
Полезно иметь в виду, что в обеих частях уравнения (62,3) буквы Q* р и о- следуют Друг за другом в порядке алфавита.
§ 63. Изображение пространства при преломлении тонкшс пучков через сферическую поверхность. Формула Лагранжа — Гельмгольца
Установив, !*то достаточно узкий пучок гомоцентрических лучей после преломления через сферическую поверхность дает изображение точки в виде кружка малых размеров, который в известных условиях может быть принят за точку, рассмотрим, каким образом при том же преломлении изображается система точек, т. е. плоскость и все пространство
предметов. Для получения тонких пучков лучей'поместим в центре С преломляющей сферы (рнс. 105) пластинку с небольшим круглым отверстием— круглую диафрагму. При такой диафрагме каждая точка сферы S^SS^ будет иметь изображение, лежащее на концентрической сфере b'S'SS, так как условия получения изображения для всех этих точек выполнены одинаковым образом. Из этого следует, что точки плоскости PS, перпендикулярной оси симметрии рисунка SS' в точке S, будут изображены точками, лежащими не на сфере; напр, изображение точки Р будет лежать на линии PCS/ ближе к С, чем .S/; таким образом геометрическое место изображений точек плоскости PS есть поверхность вращения касательная к сфере S^'SS^ в точке S', но имеющая большую кривизну, чем эта сфера. Только небольшая часть этой плоскости, точки которой можно считать совпадающими с точками сферы •S'jj&Sfe» изобразятся такою же частью плоскости, касательной к сфере S2'S'Si в точке S', Таким образом, при преломлении через сферическую поверхность только небольшая часть пространства, заключенная в узкой трубке вблизи оси симметрии, нмеет удовлетворительное изображение посредством узких нли тонких пучков лучей; каждая точка этой частн пространства изображается точкой, каждая линия — линией и каждая плоскость — плоскостью,
