Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
197
стояние от предпоследней вершины до последней; в) показателями преломления всех сред, разделяемых сферическими поверхностями. Условимся обозначать показатели среды до преломления и после преломления одинаковою буквою с номером разделяющей их поверхности, но будем отличать второй из них от первого надстрочным знаком справа; так, например, показатель среды впереди поверхности с номером к имеет обозначения пк, а показатель среды, непосредственно следующей за этой поверхностью, обозначается пк; при таком способе обозначения показатель преломления каждой среды, кроме первой, имеет два обозначения: напр, показатель преломления второй среды обозначается п/ и п./, равным образом n'k_]=nk; пк'= пк+1; п'к+1 = 2 и т. д. Обозначим показатель прелом-
ления последней среды знаком пт' (= Лм + 1); все т-\~ 1 показателей получат номера и будут обозначаться: nlf л2,..., пк1. .., пт, пт1_1.
На рис. 107 представлен ход лучей, преломляющихся через поверхность с номером к и падающих на поверхность ? -1-1. Очевидно, что углы
Рис. 107.
луча, проходящего через все сопряженные точки оптической оси, т. е. через точки, из которых каждая есть изображение предыдущей, должны иметь также двойные обозначения; сохраняя букву и для обозначения этих углов, мы обозначим угол с осью луча SkMk двояким образом: и'^-и^ аналогичный угол после преломления через поверхность с номером к имеет обозначение: uk~uk+i и т. д. То же повторяется и для вертикальных отрезков и их изображений: PkSk~ — Pk+lSk+1 — — lk' = — l^.
Но каждый отрезок оптической оси от одной из сопряженных точек на оси до предыдущей сферы или до последующей имеет одно обозначение, и напр.:
**** ®к~ si> Ок ^кл\== si > @к,Л ~ 5*-+1 и Т*
Из рисуика видно, что отрезки и расстояния между вершинами связаны соотношением:
dk = V — h->A' (HI)
После всех предварительных замечаний легко написать таблицу уравнений, связывающих все вышеупомянутые величины, определяющие положения сопряженных точек на оптической оси системы при помощи инвариантов Аббе.
198 Глава VI. Преломление червя сферическую поверхность и отражение от нее
Qi=щ (?i — ffi)=п/ (?i—О
Щ (?2 — <**)=»*,' (в, — т,')
Q*-------nk (h ^*)--------------nl (pi ** )
Qk+1 " ”*+1 (Pit-f-l ff*+l) П i f 1 (f
r*+l
k+1/
Qw_ 1 = Пи_, )
0», = nm (e™ — О = n.' (pm — О
S2--------Sj t/t
s3 ~ ®2 ^2
Oj =118 n2 = %
U, —«j u2' = u3
sfc+l
ak+2
= s*'-4 : ~ s t+j — ^
*+i
п»
t-И '
Чк-П
4+2
: И
1 »+Г
и
i+2
I/ — 4
/ *—4+i
/' =/
‘ i+l--- *4-2
1 —1 =
tn—’l m
L' = l,
m-f-l
(64,2)
(64,3)
Применяя теорему Лагранжа—Гельмгольца (63,1) последовательно ко всем промежуточным изображениям //,//,.. ¦ •,/*' для каждой
сферической поверхности и пользуясь тремя последними столбцами формул 64,3), находим:
1,п,и^1гпги,= . ¦ • =4п*»!:=4 +1 ”*+1 И]
*-И
¦?¦+! ПЖ+1 ЦИ1+1'
(64,4)
Таким образом инвариант Лагранжа — Гельмгольца замечателен тем, что в противоположность другим инвариантам он сохраняет постоянную величину для всех пространств изображений, даваемых всей системою.
Вывод получен на основании расмотрения системы, состоящей только из преломляющих поверхностей; такие системы называются диоптрическими. Системы, состоящие только из отражающих поверхностей — катоптрические, или смешанные, имеющие поверхности обоих родов,— катадиоптрические, — требуют особого рассмотрения.
Рассмотрим сложную катадиоптрическую систему, состоящую из р—1 преломляющих поверхностей и одной последней отражающей <; номером р. Система имеет 2р — 1 пространств изображений, так как после отражения от последней поверхности лучи вторично преломляются через все предыдущие поверхности в обратном порядке. Разобьем систему на три части:
§ 64. Система центрированных сферических поверхностей
199
первая состоит из первых преломляющих поверхностей с номерами от 1 до р—1; вторая— зеркало с номером р; третья образуется теми же преломляющими поверхностями, переномерованными в обратном порядке с номерами от р -+- 1 до 2р — 1. Выписываем номера пространств и их показателей преломления:
Номер
проегр. 1 2..........р—1 р р-*-1 р-*-2......2 р — 1 ?/»
Показ.
преломл. П] ..............пр—1 np np np—1 • • • • • па «1
Применим теорему Лагранжа — Гельмгольца, т. е. формулу (64,4) к трем частям системы. Для первой части имеем:
/х п, их = /2 п2 и2 = ... = 1р_г пр_х - 1р пр ир ¦
для второй согласно формуле (63,2):
1 п и„ — — , /2 ы„ ,;
Р р р р i I р p-t-1 7
наконец, для третьей:
1р+\ Пр Пр+1~ '/Л-2 Пр—1 Мр+2= ‘ ‘ • ~hp—1 П2 U2p-]==^p П1 Щр‘
Из этих уравнений вытекает:
Ani ц1= • =lpnpap==— lp+inpup,i~-
' hp— 1 П2 U2p—1 П1 U
(64,5)
2p-
Таким образом, в случае смешанной катадиоптрической системы неизменной, инвариантной для всех пространств изображений остается абсолютная величина произведения 1tnbutm, если правило знаков для отрезков и углов соблюдается во всех пространствах, то знак произведений l1;nkuk изменяется на противоположный во всех пространствах, следующих за каждой отражающей поверхностью системы.
Припишем всем пространствам изображений, получаемым после отражения от поверхности с номером р, фиктивные показатели преломлений: np+it nP+2f ¦ ¦ n>p-i’n’p и примем, что каждый из них равен показателю
