Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 63. Изображение при преломлении через сферическую поверхность 195
Изображаемая область пространства и область изображений имеют такие малые поперечные размеры, что в этих областях синусы и тангенсы всех углов, образуемых преломляющимися лучами, могут заменять друг друга и могут быть заменяемы дугами. Границы этих областей не могут быть определены точно; онн зависят от допускаемых величин погрешностей при замене дугами синусов и вообще при отбрасывании во всех разложениях членов высших порядков.
Та область, для которой можно пользоваться уравнениями (62,2) н (62,3) и им подобными и вообще делать только-что указанные замены синусов и тангенсов и считать, что после нрэломления гомоцентрические пучки остаются гомоцентрическими, носит название области параксиальных лучей, а совокупность относящихся сюда уравнений и соотношений часто называют геометрической оптикой Гаусса, так как он первый разработал систему этих соотношений и формул.
Приняв во внимание все сделанные выше оговорки, предположим, что отрезок PS, равный / (рис. 106), изображается после преломления через
Рис. 106.
сферическую поверхность ОМ отрезком S'P'; длина этого последнего V отрицательна, и потому согласно условию этот отрезок отмечен на рисунке знаком: —Г. Один из лучей параксиального гомоцентрического пучка лучей, произвольно выбранный, SM образует с осью симметрии ОС угол и, и точка М лежит на расстоянии h от линии ОС.
Из подобия треугольников PSC и P'S'С находим:
/
(63,1)
Заменяя правую часть на основании уравнения (61,4) равным ей отно-
шением j получаем:
1_
I
ns
n's
Далее из треугольников SMK и S'MK в виду того, что вся фигура относится к области параксиальных лучей, имеем:
:(— s)- (— a)— s'и'
или
Подставляя найденное значение отношения — в предыдущее уравнение, приходим к выражению:
lnu — 1'n'u'. (63,2)
13*
196 Глава VI. Преломление через сферическую поверхность и отражение от Нее
Это важное соотношение между произвольно взятыми длиною изображаемого отрезка и углом с осью ОС луча из точки на оси имеет вид инварианта г до недавнего времени носило обычно название закона или теоремы Лагранжа — Гельмгольца; в последнее время в видах исторической справедливости его иногда называют теоремою Гюйгенса — Гельмгольца.
Мы знаем, что из формул, выведенных для преломляющей поверхности, можно получить соответственные формулы для отражающей, если вместо п' — показателя преломления среды после отражающей поверх* ности — подставить — п, т. е. показатель преломления с обратным знаком среды до отражения.
Воспользуемся этим приемом для получения теоремы Лагранжа— Гельмгольца в случае простейшей катоптрической системы — сферического зеркала. Вместо уравнения (63,1) находим:
1и — — 1'и', (63,3)
т. е. в этом случае зиаки произведений /и и Г и' противоположны.
§ 64. Система центрированных сферических поверхностей; последовательные изображения точки иа оси системы
Современные оптические системы в громадном большинстве случаев состоят из сферических линз, т. е. стеклянных тел, ограниченных сферическими поверхностями, и призм; преломляющие поверхности иного рода, кроме сферических, употребляются редко (кроме очковых линз), так как изготовление несферических поверхностей представляет большие технические трудности. Почти всегда, за очень немногими исключениями, центры всех преломляющих сферических поверхностей расположены на одной прямой; системы с изломанной линией визирования не составляют исключения, так как приемом отражения частей системы в дающем нзлом зеркале (приемом, который несколько раз был применен при рассмо* трении призменных систем) всякая система может быть приведена к эквивалентной ей системе с центрами сферических поверхностей на одной прямой. Системы, у которых центры преломляющих сферических поверхностей расположены на одной прямой, называются системами с центрированными сферическими поверхностями; только такие системы будут рассматриваться в дальнейшем.
Прямая, на которой расположены центры всех сферических поверх* ностей, называется оптической осью системы.
Так как пространство изображений, получающееся после преломления через первую сферическую поверхность, является пространством предметов для второй преломляющей поверхности, дающей в свою очередь изображение первого изображения и т. д., то последовательное применение уравнений (62,3) — инварианта Аббе и инварианта Лагранжа — Г ельмгольца— (63,1) к изображениям, даваемым центрированной системою в области параксиальных лучей, не представдяет затруднений.
Оптическая система вполне определяется следующими величинами: а) радиусами сферических поверхностей г„ г2..., rk,..., гт, если число поверхностей равно т\ б) расстояниями между точками пересечения сферических поверхностей с оптической осью (точками, которые иногда называются вершинами сферических поверхностей) dlf d2.. dif..., dm-\,
где dL — расстояние между первой и второй поверхностью, dh—расстояние между вершиною с номером k и вершиною с номером dm_1 — рас*
§ 64. Система центрированных сферических поверхностей
