Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Р Р' '
Г ______ I----S
sin и' sin i'
(60,1) (60,2) (60,3)
Кроме того, по известной формуле тригонометрии:
p2 — (r — s)~ i- г2 — 2г (г — s) cos о, (60,4)
р'~ ~(г — s')' -+- г — 2г (г —s') cos 9. (60,5)
Наконец, углы связаны соотношениями:
о = и — i=u’ - i'. (60, 6)
Все уравнения могут быть получены также и из рассмотрения рис. 102.
§ 61. Изображение точки гомоцентрическими лучами при преломлении через сферическую поверхность. Лпланатические точки
При рассмотрении преломления через плоскую поверхность было установлено (§ 42), что изображение точки пучками гомоцентрических лучей в этом случае невозможно. Для того чтобы решить вопрос о возможности изображений гомоцентрическими пучками в случае преломляющей сферической поверхности, перепишем уравнение (60,1) в таком виде:
р- _______ . Р-
п2 (Г ¦— .*»)- п'2 (Г— .ч')-
Подставляя из уравнений (60,4) и (60,5) значения р2 и получим:
г- I -(г -s)~ 2/" COS 'г_ sV 2r COS i \
rfi (r — s)- n "-(r — s) n'~ (i-s')- n"~ (r— s') ' ’
Для того, чтобы гомоцентрический пучок лучей, выходящих из точки Л (рис. 102 и 103), после преломления остался гомоцентрическим, необходимо, чтобы отрезок s' не зависел от угла <р, т. е. чтобы s' для всех 9 было одинаково; это возможно лишь тогда, когда в уравнении (61,1) соответственные члены в обеих частях его равны между собою, т. е. когда
А — s)* __ Г- -l-(r — s')-пЦг-s F ~ n'*V--s')2 ’ (61,-)
и одновременно:
2 г 2 г
190 Глава VL Преломление черея сферическую поверхность и отражение от нее
ИЛИ
л2 (г — $)—n's(r — s'). (61,3)
Совокупное решение этих двух уравнений значительно упрощается, если принять во внимание, что все уравнения от (60,1) до (60,6) должны быть удовлетворены при сколь угодно малых значениях <р, т. е. и тогда, когда 9=0; очевидно, что в этом случае p—s и p'=s' (см. оба рисунка 102 и 103); уравнение (60,1) примет вид:
-".(/-.а . (6i,4)
S S
Из сопоставления уравнений (61,3) и (61,4), находим:
ns = nV. (61,5)
Исключая из уравнения (61,4) сначала s' подстановкою: s'— s,
г
___ Л I f
а потом s подстановкою: s=—s , находим те значения s и s9 которые удовлетворяют совокупности уравнений:
s“r‘bVr’ (61,6)
s' = r-i-^rr. (61,7)
Кроме этой пары значений, s и s' уравнения (61,2) и (61,3) удовлетворяются еще парой' решений:
s = s' = r.
Очевидно, что лучи гомоцентрического пучка, сходящиеся в центре сферической поверхности или расходящиеся из этой точки (s~r), проходят сферическую поверхность по направлению нормалей (по радиусам) и потому не преломляются; это имеет место при сколь угодно широких пучках лучей.
Наконец имеется еще одна пара решений:
s—s'^0,
утраченная при переходе от уравнения (61,1) к уравнениям (61,2) и (61,3). Если s = 0, т. е. если гомоцентрический пучок лучей имеет центр в точке О на сферической поверхности, то <р = 0 для всех лучей пучка, и уравнение (61,1) дает:
s' = 0;
после преломления пучок лучей остается гомоцентрическим, т. е. точка О является собственным изображением.
Оба последние решения очевидны» но не имеют практического значения.
Первая пара решений — формулы (61,6) и (61,7) — имеет важное практическое применение в объективах микроскопов. Чтобы построить пучки гомоцентрических л]гчей е центрами, определяемыми этими формулами, построим две вспомогательные сферические поверхности, концентриче-
§ 61. Апланатическае точки при преломлении через сферическую поверхность 19;
¦кие с преломляющей сферической поверхностью; радиус одной из них ,олжен быть равен а радиус другой -~г г. На рис. 104 такое построение выполнено для случая, когда
r<СО, п = 1.5 и n! ~ 1;
"огда
2 5 , 3 5
S — r\-^r~-^r И S -Г+2 Г = уГ.
POQC—полусферическая фронтальная линза иммерсионного объектива микооскопа. KylL — стекла, между которыми находится препарат: одно
;лева — потолще — предметное, другое — тонкое — покровное; между -шми — рассматриваемая точка S препарата. Пространство между покров-ши стеклом и линзою заполнено каплею масла, показатель преломления юторого равен показателю преломления покровного стекла и фронтальной
.инзьг. Внутренняя вспомогательная сфера имеет радиусом длинуг |»
". е. в данном случае 1 г |; внешняя вспомогательная сфера имеет радиус,
3
равный —г |г|, т. е. уМ-Длина
SO = — s = SC-f СО= —у г — r = — -|-г;
длина
S'0— — s' = S'C-i- CO = — ~r—r= — \rt
1^2 Глава Vf. Преломление через сферическую поверхность я отражение от нее
таким образом точка &' есть мнимое изображение точки 5; все лучи, вышедшие из точки S, проходят из линзы в воздух, образуя гомоцентрический пучок лучей с центром в точке S'.
Если изменить направление распространения лучей на противоположное, то рис. 104 представит второй возможный случай изображения гомоцентрическими лучами с положительным радиусом преломляющей сферы; точка S' в этом случае является мнимой, точка S— ее действительным изображением.
Рассмотренные две сопряженные точки, положения которых определяются формулами (61,6) и (61,7), называются аплаиатичеокими точками преломляющей сферической поверхности; они замечательны тем, что одна является изображением другой и притом безаберрационным изображением при каком угодно большом угле пучка (до 180°).
