Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
(127,1)
(127,2)
(127,3)
428 Глава XI. Теория аберрации третьего порядка
Очевидно, что из уравнений обоих инвариантов можно исключить делением показатели, найти радиус и потом найти отношение показателей п/: nt.
Обычно оба параксиальные луча выбираются следующим образом: первый выходит из точки пересечения оптической оси с изображаемой плоскостью в пространстве предметов, перпендикулярной оси, и проходит какую-нибудь точку плоскости входного зрачка системы с координатами т, и оставаясь в области гауссовой оптики; второй выходит из точки, лежащей в той же плоскости, вне оси, также в области гауссовой оптики, на расстоянии от оси, и проходит через центр входного зрачка. Оба луча в дальнейшем называются первым и вторым вспомогательными лучами Зейделя.
На рис. 229 изображен ход обоих вспомогательных лучей после пре«-ломления через поверхность Ot_i с номером /—1; обе сферические
/
поверхности О*-1 и следующая за нею О, представлены плоскостями-Р. и Р/— гауссовы изображения входного зрачка системы предшествующими частями системы до (г—1)-й поверхности включительно и до поверхности с номером к Sf и S/ — гауссовы изображения точки на оси. Луч I проходит через точку М( н плоскости зрачка Р{ с координатами х!_г и по отношению к и с координатами х,- и mt(= т^) по отношению к О,- и через точку St с координатами и нуль или s,. и нуль;
после преломления чергз поверхность О,, координаты сопряженных точек суть х/ и т/ и $/ и 0. Луч // проходит через центры Р{ и Р/ изображений входного зрачка и через концы сопряженных отрезков и //, построенных в точках S{ и S/. Ординаты точек преломления первого луча второго — у{, углы лучей с осью; цД=ц<'_.) и и' (= ы|+1У,
«V(=«0 И Щ'(~
Очевидны следующие соотношения:
Л, s/и/; (127,4}
Л -Х( W, — х/ го,'; (127, 5)
li — — «Л Щ и // — (х/ — s/) «V;
m. = (s.—*,) и. и т/ ---- (s/ — х/) и/.
(127.6)
(127.7)
§ 127. Вспомогательные лучи Зейделя и инварианты для них
429
Можно провести первый вспомогательный луч не в меридиональной плоскости, а в сагиттальной; тогда координаты точки пересечения такого луча с плоскостями изображений входного зрачка согласно условиям в § 124 следует обозначить так: х{ и Mit х/ и М{\ угол луча с осью назовем v( и v/. Для этого луча имеют место следующие соотношения:
М:
: (s, — X,.) v( и М/ = (s/ — х/) V,'.
(127.8)
(127.9)
Формула Лагранжа—Гельмгольца (63,1) в применении к указанным трем лучам дает следующие три инварианта для всей системы (а не только для одного преломления):
и
тк п* =mtntwt=...= т/ п/ о»/ ---
¦Afknkvt=...
• — 4 ni ui*
= m1n1 Wjj М/ n/ v/~ ... = пг Vl.
(127,10)
Из первого инвариантного уравнения можно вывести очень употребительный в теории аберраций инвариант, введенный Зейделем. Для ¦этого заменим все величины I их значениями из уравнений (127,6), а все углы ы и го их значениями из уравнений (127,4) и (127,5). Это дает:
h Ук щ' (хк — Sfc') __ hk ук nk (хк — sk)
Si Хк'
skxk У\ Щ (*] — Si)
S] Xl
h-s У\ ni (xj' — ej') s i'x/
(127,11)
Каждое их выражений вида —— равно QXI — Qst,
как в этом
лёгко убедиться, вычитая из уравнения (127,1) уравнение (127,3). Таким образом приходим к инварианту Зейделя для всей системы:
KyAQxi — QJ= ¦ • • — КуЛОш — QJ= • • • =hi!/i(0л~0Л (127,12)
Из этой формулы легко получить соотношение (123,7) между отрезками рк' и />!; заменяя hk, yt, и у{ их значениями по формулам (127, 4) и (127,5) и переходя к угловым увеличениям у и у , находим:
(127,13)
Заменяя у и у их значениями по формуле (82,4), приходим к равенству (123,7).
Из уравнений (127,10) и (127,11) можно вывести три очень важные для теории аберраций инварианта, если каждое из уравнений (127,10) разделить соответственным образом на уравнение (127,11); если при атом принять во внимание соотношения (127,4), (127,5) и (127,8), то мы получим уравнения, связывающие выражения следующего вида:
mt s(
М.-:
Hi(x’ hi (х, —
hi (*i Si)
430
Глава XL Теория аберраций третьего порядка
Каждая из этих дробей инвариантна для всей системы; этот результат выразим в таком виде, в каком эти формулы будут необходимы, в дальнейшем изложении, а именно:
§128. Некоторые вспомогательные формулы и преобразования
В дальнейшем коэффициенты разложений аберраций третьего порядка будут выражены в зависимости от обоих инвариантов Q„ и Qr; кроме того будут выведены формулы, связывающие значения этих коэффициентов при различных расстояниях плоскостей входного зрачка и предметов от оптической системы. Поэтому удобно заранее подготовить необходимые при выводах соотношения между инвариантами и другими величинами, определяющими ход вспомогательных параксиальных лучей.
При выводе всех формул мы всегда последовательно соблюдаем требование обозначать одинаковыми буквами аналогичные величины до преломления и после преломления, отмечая штрихами справа вверху буквы* относящиеся к величинам после преломления; вследствие этого очень часто в формулах можно получить выражения, имеющие вид разности двух одинаковых функций с одинаковыми буквами, отличающихся только штрихами у букв, т. е. разности такого вида:
