Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
жеиия беспредельно возрастают, если s, и s- стремятся к нулю; тем не менее суммы Зейделя в этом случае не теряют’ смысла, так как одновременно ординаты точек преломления Л, и У; также обращаются в нуль. Для раскрытия появляющейся при этом неопределенности обращаемся к формуле (62,5), согласно которой имеем:
К Qti = — п, г,- — — п/ г/ = — п, (щ — ©,) = — п/ (и/ — ?,),
где if и г/ углы падения н преломления, <р,- угол между радиусом ив точки преломления и осью. Если s, = s,' = 0 и А, = 0, то ?, = 0 и
Ы л V Ii
§130. Продольная аберрация второго порядка
445
Для произведения -г- Л----- в том же случав находим:
Аг П,- S; Щ S1 Щ S] Sj Щ
hi , 1 IV Тя_! 1 А т,-
__ Д---------=-----------------------=--------Д —
Так как в выражениях первых трех сумм Зейделя степень отноше-
то те слагаемые этих сумм, у которых s,. = s/ = 0, обращаются в нули. Если точка находится на оси системы, и луч расположен в меридио-
нальной плоскости, то = 0 и М1 — 0. Если обозначить высоту точки преломления луча через первую поверхность буквой hu то в этом случае
в этом легко убедиться из рассмотрения подобных треугольников иа рис. 232, на котором точка Sx лежит на осй системы; луч Мг пересекает плоскость входного зрачка в точке с координатами хг—н тл и поверхность ОМх в точке с координатами Sj и hx. После всех указанных подстановок формула (130,12) переходит в формулу (116,15).
Суммы Зейделя можно написать в более удобном виде, если ввести следующие обозначения:
ния A,. :Aj всегда на единицу больше, чем сумма степеней а, и
Рис. 232.
(130,13)
тогда:
446
Глава XI. Теория аберраций третьего порядка
§ 131. Поперечные аберрации третьего порядка
Чтобы найти выражения обеих слагающих поперечной аберрации и SG','ограничиваясь членами третьего порядка, нужно установить зависимость между слагающими этой аберрации для одной поверхности и продольной аберрацией Bs', найденной в предыдущем параграфе.
а) Меридиональная слагающая. На рис. 233 воспроизведена часть рис. 231, а именно часть меридионального сечения, на котором ТЕ—изображение входного зрачка предшествующей частью оптической системы; В— гауссова плоскость; А — точка пересечения внемеридио-иального луча с меридиональной плоскостью; I — расстояние этой точки от оси; I—расстояние от оси гауссова изображения точки. Меридиональ-
Рис. 233,
пая слагающая аберрации bg есть разность ординаты g точки пересечения луча с гауссовой плоскостью и ординаты / гауссова изображения; разность I — / обозначаем знаком S/. Из прямоугольного треугольника с гипотенузою АВ видно, что катеты его &?—%1 и Ss связаны соотношением;
Ьд-
Л S — .V
Пренебрегая величинами высших порядков, можно заменить величины с черточками наверху величинами, вычисленными по формулам гауссовой оптики, т. е. отбросить черточки. Это дает:
ig-H^m=hs,
& S х
у—&/'
а s — х
Из треугольников ASC н A' S' С на рис. 230 находим:
V (Ъ — г) = Т(в'-~ г).
§ 131. Поперечные аберрации третьего порядка
447
Заменяем в этом уравнении точные значения величин приближенными, для чего принимаем во внимание, что
7' = Г-*-8Г; Г—1-+-Ц 5' = s'i=s-+-&s,
и что согласно формуле (63,1)
l'(s — r)^l(s' — r). (131,1)
Подстановка приводит к уравнению:
(s — г) ЬГ /' &s = (s' — г) Ь[ н- ZSs',
если отбросить члены второго порядка малости.
Заменяя при помощи только-что выведенных соотношений S/ и Ы' их выражениями в зависимости от bg, bg', Ss и Ss', получаем:
L •-* J L «-* J [ (131>2)
= (s — r)bg'— (s'~r)bg. I
По теореме Лагранжа—Гельмгольца для двух последовательных параксиальных изображений /' и I имеем:
п' Г и' — nlu;
так как в то же время
, h А
и = — и И = ~1 s s
ТО
(131,3)
Из этого уравнения находим:
5 5
Ь Г •
иг 7
подставляем это вместо I в первой квадратной скобке уравнения (131,2); равный образом находим:
1' = ~1 П S
и подставляем вместо V во второй квадратной скобке того же уравнения. Это дает:
Г(гп! _ f') Н- Ss' - f(s' ~^т - Я-*- 8s =
L* — * ' • ns J L S — X n'sj
= (s~ г) V — (s' — г) bg.
Разделив обе части уравнения (131,3) на соответственные части уравнения (131,1), получаем:
п' _____ П
s'(s — /) s(s'— г)
448
Глава XT. Теория аберраций третьего порядкй
Умножаем обе части предыдущего уравнения на одну из этих двух равных дробей, выбирая их таким образом, чтобы после умножения в первой скобке оставались только буквы со штрихам», во второй только буквы без штрихов, в левой частя в правом члене буквы со штрихами и во втором буквы без штрихов. После такого умножения уравнение принимает следующий вид:
К<т' - Г) л' Г_ ~] % , _ Гп (m-J) L *' (s’- *') s'(s'- ,j] L •"(s ~ *)
nl 1 j n' bg' nSg
I bs — •-/-------------------•
¦•(s — r) J s s
Так как выражения в скобках теперь совершенно аналогичны, отличаясь только штрихами у букв, то достаточно выполнять дальнейшие преобразования с одним из них; второе получится прибавлением штрихов к соответственным буквам. Переписываем и преобразуем второй член левой части уравнения следующим образом:
п8* Г ms
s® Ь — *
_____пйв Г ms
*а L * — J
U Is ___nfis Г ms */ (х — г) “1______
