Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
иногда вместо ^ пользуются углом w„ между осью и главным лучом, проведенным из точки А в центр Р входного зрачка; из рисунка ясно, что:
= (124,1)
Построим в пространстве изображений плоскость выходного зрачка Р', определяемую расстоянием центра выходного зрачка Р' от вершины О'; это расстояние О’ Р' равно — х'. Для упрощения отбрасываем при всех буквах значок, указывающий номер последней преломляющей поверхности. Проводим „гауссову" плоскость через точку S', являющуюся идеальным изображением точки на оси системы, и примем, что точка А' есть „гауссово" изображение точки А, т, е. А — изображение, какое мы имели бы, если бы реальную систему ОО' заменили идеальной системою. Тогда РА' есть луч, сопряженный главному лучу РА в случае идеальной системы, т. е. в случае отсутствия дисторсии; угол w' удовлетворяет уравнению, аналогичному (124,1), т. е.
tg- zv’ = х, 1__ > (124,2)
где /' — идеальное изображение отрезка I. Вследствие аберраций реальной системы луч Q' А', 'сопряженный с лучом QA, не проходит через
§125. Разложение аберраций в ряды. Формулы Зейделя и Шваоцшильда 417
точку Л' и пересекает гауссову плоскость в точке А'. Положение луча Q'A, определяется двумя координатами точки Q' в плоскости выходного зрачка: т' по оси PY' и М' по оси P'Z', и двумя координатами точки А! в гауссовой плоскости; координату по оси S У обозначим суммою l'-i-bg', координату по оси S'Z" назовем ЬС'. Очевидно, что bg' и bG' суть меридиональная и сагиттальная слагающие отрезка А'_А!, могущего служить для характеристики отступления хода луча Q' А’ от идеального хода Q' А'. При заданных значениях lx hs„ или для бесконечно удаленных точек при заданном значении угла wv обе слагающие аберрации Sg7 и bG' суть функции координат точки пересечения луча с плоскостью входного зрачка, т. е. функции координат тг и Мх.
Точные значения величины bg' и bG' могут быть определены посредством тригонометрического расчета хода внемеридионального луча по формулам, выведенным в §74.
§125. Разложение аберраций в ряды. Формулы Зейделя
и Шварцшильда
В § 116 был сообщен прием разложения сферической аберрации для точки на оси в ряд по степеням какой-либо величины, определяющей направление луча в пространстве предметов; общий вид разложения представлен формулами (116,3)ч (116,4). Тот же прием разложения в ряды может быть применен к обеим слагающим аберрации в общем случае, т. е. к величинам bg' и SGr предыдущего параграфа. Обратимся снова к рис. 222 и назовем буквою V координату по оси\_Y" точки пересечения луча Q'A’ с гауссовой плоскостью; очевидно, что I' — l' -t-bg'. Обе координаты точки А' :Г и bG' являются функциями lv тх и Мх и могут быть разложены в ряды, расположенные по возрастающим степеням этих величин. Так как при одновременной перемене знака у величин llt т, и Му координаты I' и bG' должны в силу симметрии относительно оси оптической системы также изменить знаки без изменения абсолютной величины, то в обоих разложениях не может быть членов четного измерения относительно букв llt и Mlt т. е. сумма показателей у произведений этих букв не может быть равна четному числу; разложения могут содержать лишь члены первого, третьего, пятого и т. д. измерения относительно переменных llf т1 и Мх. Так как меридиональная плоскость, проходящая через точку А, есть плоскость симметрии для пучка лучей, выходящих из этой точки, то требование симметрии еще в большей степени ограничивает число возможных членов разложения. Если в разложении координат Г и bG' переменить знак у переменной Мх, т. е. вместо луча AQ на рис. 222 взять симметричный ему луч по другую сторону меридиональной плоскости (плоскости рисунка), то значение меридиональной слагающей аберрации $g', а следовательно и координата I не должны измениться; из этого следует, что в разложение меридиональнэй слагающей аберрации не могут входить члены с нечетными степенями буквы М. Напротив того, сагиттальная слагающая аберрации при перемене знака у М должна также изменять знак, сохраняя абсолютную величину неизменной; поэтому разложение сагиттальной слагающей не может содержать членов с четными степенями буквы М, а также и членов без этой буквы, т. е. с нулевой степенью М. Для области параксиальных лучей, когда т, и М{ имеют очень малые значения, можно ограничиться в разложениях
27 А. И. Тудоровский
418 Глава X. Изображения, даваемые оптическими системами, и их погрешности
членами пергаго порядка, что приводит к формулам оптики Гаусса — оптики идеальных оптических систем.
Число возможных членов третьего порядка равно десяти; они могут содержать следующие произведения переменных т{ и Мх\
В силу вышеуказанных требований симметрии шесть произведений, не содержащих буквы Мх или содержащих М-;, входят в разложение координаты а четыре произведения — m Л/,3, /, т, М. и/2М. — входят в разложение сагиттальной слагающей ^G'.
В 1856 г. мюнхенский астроном Л. Зейдель нашел в общем случае для любой оптической системы с осью симметрии выражения для коэффициентов членов третьего измерения относительно переменных 1и т- и М в разложениях для координат V и йС'; эти коэффициенты могут быть выражены в зависимости от радиусов поверхностей системы, толщин линз и воздушных промежутков между ними, а также от всех показателей преломления._Найденные Зейделем формулы дают возможность вычислять координаты Г и №' с погрешностями, не превышающими значений членов разложения пятого порядка, не прибегая к тригонометрическим расчетам хода внемеридиональных лучей. Хотя у современных оптических систем области изображаемых точек выходят далеко за пределы области Зейделя, т. е. той части пространства, в которой можно ограничиться в разложениях членами третьего порядка, все-таки формулы Зейделя и теперь играют очень важную роль в вычислительной оптике, так как они дают возможность составлять алгебраические уравнения, определяющие конструктивные элементы оптической системы с заданными наперед значениями аберраций третьего порядка. Вычисления Зейделя показали, что коэффициенты десяти возможных членов третьего порядка не независимы друг от друга, вследствие чего число различных коэффициентов сводится к пяти; общие выражения для аберраций и
