Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы не усложнять рисунка, преломленный луч МА' (рис. 230) иа рис. 231 не показан, равно как не показаны следующее по порядку изображение с номером I плоскости входного зрачка и плоскость следующего гауссова изображения; эти плоскости должны быть отмечены буквами Р1 Е' и B'F1, соответственные координаты точки Р': т', М' и х'; координаты точки В' равны: s', g' и Ш'. Координаты точки A': s' и /'; отрезок МА' равен V'. Из треугольника АКМ имеем;
КМ— V sin
Из треугольника А' КМ, имеющегося только на рис* 230, для того же отрезка находим:
КМ-= J/'sinS'.
Таким образом
Fsin & — K'sin
Пользуясь уравнением (129,2), находим:
у __ ni V'~ n'T *
Из треугольника ASC и A'S'С (рис. 230) получаем:
после подстановки в предыдущее уравнение приходим к инварианту Кербера:
(129,4)
Применительно к рис. 230 это уравнение дает:
n'SrC nSC ~МА' ~ МА '
Отрезки V и V' могут быть определены по следующим формулам:
V= V(f— af -+- W—W+c*,
V’= V(s' — af (f'—bf +-V.
§ 130. Продольная аберрация второю порядка
439
Рассмотрение треугольников AKL и АТН, а также DNS в EPS (рис. 231) приводит к следующим соотношениям:
Ь — / ___ с ____s — а Ъ — I ____ с ____*' — а
m — 1 М * х in' — /' М' * х
Это дает возможность представить V и V' в таком виде:
И=(3-а))Л+<Ь^"!;
(129,5)
Точные выражения (129,4) и (129,5) могут служить для вывода различных формул; так например: Кербер (A. Kerber[3]) воспользовался ими для вывода своей второй группы формул для точного расчета хода внемеридионального луча. Эти же формулы послужили Керберу (А. Кег-Ьег [4]) для вывода коэффициентов Зейделя в разложениях аберраций продольной и поперечной; для этой цели точные выражения величин V и V' нужно заменить приближенными, разложив корни квадратные в ряд по формуле бинома Ньютона с дробным показателем степени и отбросив члены высших порядков кроме второго; одновременно точные значения координат I, т, Г, т\ М, М' можно заменить соответственными величинами, получаемыми по формулам гауссовой оптики; эти величины мы обозначим теми же буквами, но без черточек. Приближенные значения функций V и V' таковы:
т/ /- чГ, . (1-т)* + МП V~(s а) |_1 -f-
— m')2 М'Ъ •
2(7-х'р J'
K'=(i'—a) [i-* Ц'— т')йМ1* ]
(129,6)
§ 130. Продольная аберрация второго порядка
Мерою продольной аберрации внемеридионального луча в пространстве с номером г, являющимся изображением пространства предметов после преломления через (г— 1)-ю поверхность системы, можно считать отрезок FS на рис. 231, определяющий расстояние точки пересечения внемеридионального луча с меридиональной плоскостью от плоскости гауссова изображения; этот отрезок обозначим значком ^s. Очевидно, что
= s — s,
где s— расстояние точки F от вершины поверхности О. Для пространства с номером г +1 после преломления через поверхность с номером г имеем:
440 Глава XL Теория аберраций третьего порядка
Подставив в выражения (129,6) вместо s я s’ их значения: s -t-Bs и s' -t-<V и заменив в уравнении (129,4) V и V' этими выражениями* находим:
— m'f -I
п (s' Г -У- IV) Г ^ (S • t
s' -+- 8s' — a s ¦+¦ o* — a 1 U— m)‘ t A/a
Ко второй дроби в правой части применим обычную в приближен' ных вычислениях формулу:
1 *1 *
— a2,
где ax и a2 малые величины по сравнению с единицею; это дает:
n'(s' — гн os') n (s — г ь Ss) г1 (/—тУ'н W-1
«. -«г L1 ‘ ¦л ~2(.'-*>""¦ J > ^
о значении символа А см. §128.
Делии обе части уравнения на г и, применяя те же правила приближенных вычислений, преобразуем дробь следующим образом:
n(s — r-i-Ss)__ n(s—г3s) n(s— г -+- 8s) I* __ 5s п \
Г (в-4- 8«- с) _ в)_ ГВ S ~*~S
___ n (s — r) nSs n {s — r) Ss n (s — r) a
дробь у также малая величина по сравнению с единицей; величинами второго порядка малости, т. е. произведениями малых величин, пренебрегаем. Выражение ~ есть инвариант первого вспомогательного луча Зейделя Q, (127,1); таким образом:
п (? — г -t Ss)_j-. nbs___os s-у а . .
Г (s -I- Ss — в) * rs " S s s *
равным образом:
n'(s’—r-+- Ss') s~\ n' Ss' л 8s' л a
r (s’ -J- ts' — a) v rs' л s' 5 s'
Подставляем найденные значения обеих дробей в уравнение (130,1) и раскрываем скобки в правой части; приняв во внимание, что выражение со знаком А также малая величина того же порядка, что и другие малые величины, пренебрегаем членами порядка выше первого. Замечая, что
§ 130. Продольная аберрация второю порядка
441
по выполнении всех действий получим:
п' os' _ ^ a nbs о . r\ t (I—m^ + Af*
"sr Os— + У,Д 2(s — xf~ ’
или, снова пользуясь символом А,
л nSs П л 1 I Г\ а (1—т)2-*-М*
A-gr=-Q.«A—2(;ix)« •
Из уравнений (128,1) вычитанием второго из первого находим:
Д —= — QSA —;
s ^-s п ’
поэтому:
(130,2)
Воспользовавшись формулами (127,14), (127,15), (127,16) можно написать:
I' lx т' ms М' Ms
s' — х' (*—*)*'’ s'— х’ (s — x)sr ’ *' — х’ (s — х) s'5
отсюда находим:
= 7—~ Y2 Д ------2mlsxk — —t— /2jc2 Д-V"]»
(s — Xjr L sx X* J
Тем же путем приходим к уравнению:
.. М* M*s* . 1
А . —¦ — ¦ ~|г"~* -¦ — — - Д —I ¦ •
(s — х1) (s — х)2 sa
Для исключения отрезка а из треугольника MDC на рис. 231 находим:
