Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
естественное развитие механики частицы. Однако нельзя сказать, что она
будет просто следствием механики частицы, поскольку мы не будем пытаться
выводить свойства континуума из релятивистского поведения частиц и
молекул, образующих этот континуум. Даже в более старой, ньютоновской
механике попытки строгого обоснования механики упругого континуума,
исходящие из свойств частиц, не были вполне удовлетворительны; в
настоящее время подобные построения осложняются не только релятивистскими
закономерностями, но также необходимостью учитывать квантовомеханическое
поведение отдельных частиц. Поэтому более разумно строить механику сред
на аксиоматической основе, используя лишь макроскопические понятия, не
затрагивающие квантовой механики. К этому мы теперь и перейдем.
*) Соотношение между массой, энергией и импульсом лежит, очевидно, в
основе современной физики элементарных частиц. Точность наиболее
аккуратных формул этой теории (в явлениях, описываемых квантовой
электродинамикой), подтвержденных экспериментом, составляет примерно 6
значащих цифр (ошибка составляет две-три единицы на 10~6). Такова
современная-точность предсказаний специальной теории относительности.
Дальнейшее повышение точности очень трудно из-за того, что мы не умеем
описывать процессы сильного взаимодействия, учитывать аккуратно размеры и
структуру нуклонов и т. д.
Особенно тщательно показана независимость скорости света от его частоты.
Скорость света оказывается одинаковой для видимого спектра и для
радиоволн с точностью до 10-го знака. Это было проверено наблюдениями
колебаний яркости пульсаров в разных частях спектра (отсутствие сдвига
фаз между колебаниями). (Прим. ред.)
72 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И МЕХАНИКА
§ 31. Сохранение импульса и компоненты тензора натяжений ti}
Наш первый принцип, на котором мы хотим остановиться,- это закон
сохранения импульса. Чтобы он выполнялся, будем считать, как и прежде,
что сила равняется скорости изменения импульса, и потребуем равенства сил
действия и противодействия внутри нашей упругой среды. Рассмотрим, как
это может быть выполнено.
Введем декартов набор осей координат х, у, z и определим компоненты
тензора натяжений t{j в любой точке данной среды в виде таблицы из девяти
величин:
Величины t{}- это нормальные и тангенциальные компоненты силы,
действующей в среде на единичную поверхность в данной точке, в
соответствии с обычным значением символа tt] как компоненты силы,
параллельной i-и оси и действующей на единичную площадку, нормальную к }-
й оси; причем сила создается веществом, лежащим со стороны меньших
значений координат лу
При этом определении тензора натяжений t{i принцип равенства действия и
противодействия будет справедлив, если считать, что - tn задает силу,
которая параллельна г-й оси, и создается ве-единичную поверхность,
нормальную к /-й оси, и создается веществом, расположенным со стороны
больших значений координат х}. Как это осуществить, будет показано в
следующем параграфе.
§ 32. Уравнения движения, выраженные через тензор натяжений t{J
На основании предыдущего мы можем теперь найти выражение для уравнения
движения среды через тензор натяжений tiS.
С одной стороны, можно вычислить результирующую силу, действующую на
единичный кубик среды, если учесть разность натяжений на его параллельных
гранях. Например, если мы рассмотрим компоненты силы в направлении оси х
и возмем две грани, перпендикулярные оси у, то можно считать, что сила,
действующая на нижнюю из этих граней, равна 4", а согласно
постулированному равенству действия и противодействия считать, что сила,
действующая на верхнюю грань, равна - {txy+dt^/dy). Следовательно, с
учетом натяжений на обеих гранях полный вклад в компоненту силы в
направлении х равен - dtxyjdy.
(31.1)
§ 32. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
73
Складывая силы, действующие на три пары параллельных граней, получаем
выражение
/ (32.1)
1х дх ду дг v '
в качестве полной силы, действующей на единичный кубик вещества в
направлении оси х.
Обобщая, можно написать
г dt,,
и = -Щ (32.2)
как определение силы, действующей в i-м направлении на единичный объем.
Двойное появление немого индекса j указывает, как и всегда, на
суммирование по трем координатам х, у, г.
С другой стороны, поскольку fi есть компонента силы, действующей на
единичный объем, то ft8v - компонента силы, действующей на бесконечно
малый объем вещества 6и. Приравняем ее скорости изменения импульса в
объеме, т. е. запишем
hbv=-^(gi8v), (32.3)
где gi - плотность i-й компоненты импульса в данной точке.
Подставляя (32.2) в (32.3), запишем уравнение движения элемента ба в виде
~ш:6и = w = w tv + gi (би) • (32-4>
Это выражение можно упростить, так как для скорости изменения плотности
импульса, очевидно, справедливо выражение
dSt dgt dgi dgl dgi _ dgi dgi
+и*'дГ + иУ~дГ + Uz~W -~дГ + ui~d77' (32-5)
где первый член есть изменение плотности импульса в данной точке, второй
член - изменение, происходящее из-за движения элемента с компонентами
