Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
скорости щ. Скорость изменения объема 8v можно выразить так:
d ди.. ди, \ " ди, "
;г<6"Итй- + т#+тг)&,= щЬа- <32-6>
Подставляя выражения (32.5) и (32.6) в соотношение (32.4) и упрощая его,
получаем уравнение движения рассматриваемой
74 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И МЕХАНИКА
среды в достаточно простом виде:
dt,, dg, да, ди, dg, я
- 4 = Ж- +"/ Щ + й -ф = -аг + -^7 <*"/>¦ (32.7)
Это соотношение объединяет три отдельных уравнения, соответствующих
различным значениям индекса i: х, у иг; по немому индексу / здесь следует
производить суммирование.
§ 33. Уравнение непрерывности
Предыдущие три уравнения вытекают из постулата сохранения импульса.
Теперь на основании закона сохранения массы получим дополнительно к ним
уравнение непрерывности
или
dgi _ _ ду_ дх, dt
(33.2)
где р - плотность массы в рассматриваемой точке. Поскольку плотность
импульса g по определению равняется плотности потока массы, это уравнение
есть не что иное, как следствие нашего постулата сохранения массы.
§ 34. Формулы преобразований для тензора натяжений
Итак, с помощью законов сохранения массы и импульса получены уравнения
движения (32.7) и уравнение непрерывности
(33.2) в случае сплошных сред. Согласно первому постулату теории
относительности поведение среды во всех инерциальных системах координат
будет описываться теми же самыми уравнениями. Однако, чтобы использовать
соотношения, связывающие такие величины, как тензор натяжений t(j,
плотность импульса g и плотность массы р, мы должны уметь находить
значения этих величин в любой системе координат.
В настоящем параграфе мы найдем формулы преобразований, позволяющие
вычислять компоненты тензора tih если известны компоненты t%, измеренные
наблюдателем, движущимся вместе со средой и находящимся в рассматриваемой
точке. В следующем параграфе мы получим преобразования, позволяющие
вычислять также величины png через величины, которые могут быть измерены
непосредственно обычными методами.
§ 34. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ТЕНЗОРА НАТЯЖЕНИЙ
75
При нахождении преобразований для tiS, g и р мы будем' основываться на
том, что мы уже знаем о свойствах лоренцевых преобразований.
Возможно, следует подчеркнуть, что именно введение лоренцевых
преобразований определяет существенные черты релятивистской механики
непрерывных сред, поскольку уравнения движения (32.7) и уравнения
непрерывности (33.2) будут справедливы также во всех системах координат и
в ньютоновской механике, если использовать галилеевы преобразования
вместо лоренцевых.
Найдем теперь, как преобразуется тензор натяжений tiS при переходе от
одной системы отсчета к другой. Компоненты тензора были определены через
силы и площади, на которые они действуют, а мы уже знаем формулы
преобразований для этих величин. При преобразовании выражений для
площадей появляются лоренцевы сокращения (§ 9), существование которых
есть следствие фундаментальных законов преобразования для
пространственных и временных измерений. При преобразованиях компонент
силы можно воспользоваться результатами § 25, поскольку, как уже
указывалось в этом параграфе, формулы преобразований для сил любого
происхождения должны быть одинаковыми, если мы считаем, что закон
сохранения импульса справедлив всегда, во всех системах координат.
Для простоты предположим, что наша первоначальная система координат 5
ориентирована так, что вещество в рассматриваемой точке среды движется
относительно этой системы со скоростью и, параллельной оси х, т. е.
компоненты скорости в направлениях осей у и z равны нулю. Введем вторую
систему так называемых собственных координат S0, которые в
рассматриваемом случае должны, согласно определению, перемещаться в
направлении оси х системы S со скоростью
u=V. (34.1)
Тогда вещество в данной точке будет находиться в состоянии покоя в
системе 5°, т. е.
и°х = иу = и\ = 0. (34.2)
Теперь легко выразить компоненты связанные с системой S, через компоненты
Дь заданные в системе S0. Подставляя выражения скорости (34.1) и (34.2) в
формулы для сил (25.3), сразу получаем преобразование, связывающее
результаты измерений силы в двух системах:
FX = F°X, Fy^F°yVl~u2/c\ Fz = F°tVl-uVc\ (34.3)
76 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И МЕХАНИКА
Далее, отмечая, что лоренцевым сокращениям (9.3) будут подвергаться лишь
площади, нормальные к у- и 2-осям, можно записать следующие правила
преобразований:
Л* = Л°, Ау = Ау У \ - w2/c2, Az = A°zVi-u2lc\ (34.4)
где индексы указывают направления нормалей.
Возвращаясь теперь к данному выше определению компонент тензора натяжений
(31.1) через силы, действующие на единичные площади, легко видеть, что
преобразования будут иметь вид*)
t° t°
4 ^0 ^ Ху , X Z
lxx - Ixxy Lxy - г.- т--- " Lxz - 7
У*1-и2/с2 * У 1-а'Чс1
tyx = tlxV\-u*lc\ (34.5)
tzx = 4 VI -и2/с2, tly = t%, tzz = t°zz.
Уравнения относятся к частному случаю, когда оси системы S направлены
так, чтобы скорость и в рассматриваемой точке была параллельна оси х.
