Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
физический смысл во всех системах галилеевых координат.
Полезность введения тензора энергии - импульса очевидна, так как
полученные ранее уравнения движения и непрерывности можно теперь
объединить в чрезвычайно простой формуле:
дт^
dxv
= 0.
(37.9)
Вспоминая определение кооррдинат (37.1), легко убедиться, что формула
(37.9) соответствует четырем уравнениям, если придавать индексу ц
различные значения 1, 2, 3, 4 и суммировать по немому индексу v. Таким
образом, этот способ записи эквивалентен нашей предыдущей записи
уравнений движения и уравнения непрерывности в виде (36.6) и (36.7)
соответственно.
Поскольку дТ^/дхУ есть выражение для свернутой ковариантной производной
от Т^, справедливое при нашем простом выборе координат, то последнее
уравнение можно считать тензорным соотношением, что, в согласии со
сказанным в § 21,
§ 38. ПРИМЕНЕНИЯ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД
85
обеспечивает соответствие этого соотношения с постулатами теории
относительности. Следовательно, полученное нами здесь уравнение (37.9),
где 7>v определено в виде (37.3), может теперь само по себе считаться
вполне удовлетворительной основой механики сплошных сред. Это основное
соотношение приобретает особую ценность при переходе к общей теории
относительности.
§ 38. Применения механики сплошных сред
Очевидно, что система механики, построение которой мы завершаем,
значительно отличается от ньютоновской механики. Эти отличия отчетливо
видны на примере уравнений (36.4) и
(36.5), указывающих не только на то, что масса движущегося тела зависит
от скорости частиц, но и на то, что масса и импульс зависят от натяжений
и что существуют компоненты импульса в теле, в котором действуют
натяжения, направленные под прямым углом к направлению движения.
Прямая экспериментальная проверка этих дополнительных отличий между
ньютоновской и релятивистской механиками была бы особенно важной из-за
того, что построение механики общей теории относительности существенно
основано на настоящих результатах. К тому же следует отметить, что из
выше-найденных уравнений вытекает, что отличия от ньютоновской механики
будут существовать даже для малых скоростей, если натяжения pjj = t'jj
достаточно велики. Тем не менее в механике до сего времени неизвестны
простые примеры, в которых эти натяжения были бы настолько большими,
чтобы возникали значительные отклонения от ньютоновской механики. Это,
конечно, неприятно с точки зрения экспериментальной проверки новой
механики, но, с другой стороны, это означает, что неизвестны механические
явления, которые противоречили бы новой теории.
Следовательно, поскольку непосредственные опыты по проверке новой
механики неосуществимы, наша вера в справедливость ее следствий зависит
от согласованности этой теории с остальной физикой и ее внутренней
самосогласованное(tm) и стройности. Такая внутренняя стройность должна
стать, как мы надеемся, очевидной благодаря методу изложения теории,
который был нами выбран. Видимая стройность теории еще усилится, после
того как мы получим некоторые следствия теории и покажем, насколько это в
наших силах, их рациональную природу и взаимосвязь с другими областями
физики.
а) Масса и импульс конечной системы. Первоначально уравнения движения
и уравнение непрерывности были получены в дифференциальной форме.
Посмотрим теперь, какие следствия
86 ГЛ. Ш. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И МЕХАНИКА
вытекают из этих уравнений тогда, когда можно проинтегрировать их по
конечному объему.
Рассмотрим сначала уравнение непрерывности (33.1). Интегрируя его по
некоторому фиксированному объему пространства, можно выразить скорость
изменения массы, заключающейся в этом объеме, следующим образом:
* = + -w^~it)dxdydz- (38Л)
Выполняя интегрирование по частям, перепишем это уравнение в виде
§~Wdv = - JjN dydz~ ^\Sy( dxdz- jjlg,) dxdy.
x у z
(38.2)
Здесь пределы интегрирования по поверхности, ограничивающей объем,
обозначены символами х, х' и т. д. Итак, мы связали скорость изменения
массы внутри рассматриваемого объема с плотностью потока через
ограничивающую его поверхность. Для изолированной системы это приводит к
закону сохранения массы, а также к закону сохранения энергии в силу связи
этих двух величин.
Подобным же образом, исходя из уравнений движения в их первоначальной
форме, мы можем путем интегрирования получить сведения о скорости
изменения импульса конечной системы. Для этого имеются две возможности,
связанные с тем, что уравнения движения могут выражаться либо через
натяжения tiS, либо через натяжения рц.
Сначала рассмотрим уравнения движения во второй из указанных форм (36.6),
которая несколько проще.
Как и выше, проведем интегрирование по определенному фиксированному
объему пространства и получим для скорости изменения г'-й компоненты
импульса внутри этого объема выражение
2 ¦- f¦-- f И +•%+ ¦4Н "">*¦ "м>
Выполняя затем интегрирование по частям, перепишем его так:
~lf = §-IfT dv = ~ Я \Ptx\dy dz - J J \pty\ ^ dxdz- J J \piz\ ^ dxdy,
