Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
компактной и удобной форме все, что необходимо для рассмотрения механики
сплошных-сред. Уравнения преобразований (36.3) - (36.5) упрощены за счет
специального выбора направления осей, при котором скорость среды и в
данной точке параллельна оси х.
Интересно отметить, что, хотя натяжения ti}, определенные как силы,
действующие на единичную площадку в среде, несимметричны (см. (34.5)), за
исключением системы собственных координат, новые величины рц, как видно
из соотношений (36.2)
6 Р. Толмен
82 ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И МЕХАНИКА
и (36.3), образуют симметричный тензор во всех системах координат.
Так как силы, соответствующие натяжениям tijt описывают действие одной
части среды на другую, поверхности, на которые действуют эти натяжения,
покоятся относительно среды. Поэтому величины tti иногда называют
компонентами относительных натяжений. С другой стороны, новые величины
ропределяют согласно формуле (36.6) скорость изменения плотности импульса
в данной точке, фиксированной в пространстве относительно выбранной
системы координат. По этой причине величины pi} иногда называют
компонентами тензора абсолютных натяжений, как мы и сделали в заглавии
этого параграфа.
Введение новых величин pti - большой шаг вперед, так как от них легко
перейти к обобщенным симметричным четырехмерным тензорам, что придает
формализму механики сплошных сред очень простой ковариантный вид. К
описанию этого мы и перейдем в следующем параграфе.
§ 37. Четырехмерная формулировка механики сплошных сред
Чтобы перевести аппарат механики сплошных сред на четырехмерный язык,
вернемся к фундаментальному представлению о четырехмерном
пространственно-временном континууме, наделенном системой галилеевых
координат (х1, х2, х3, х4), которые связаны с пространственными и
временной координатами выражением (19.1):
Для описания состояния механической среды в данной точке пространства -
времени введем симметричный четырехмерный тензор - так называемый тензор
энергии - импульса. Десять независимых компонент тензора T^v выберем так,
чтобы они были по возможности просто связаны с десятью величинами pijr g{
и р, которые мы использовали в механике сплошных сред, и так, чтобы
прийти к единственному тензорному уравнению очень простого вида,
эквивалентному трем уравнениям движения и уравнению непрерывности,
которое было нам нужно ранее.
Для того чтобы составить тензор энергии - импульса, введем собственные
координаты (хо, x\, xl, *о) так, чтобы рассматриваемый в данной точке
элемент среды имел нулевую скорость относительно выбранной системы
координат
Xх-X, Х2 - у, X3 - Z, х4 = ct.
(37.1)
dxj) dxQ л*-3
ds ds
(37.2)
§ 37. ЧЕТЫРЕХМЕРНАЯ МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД
83
Тогда компоненты тензора энергии - импульса могут быть заданы следующей
простой таблицей:
( р\х Ply Р°хг 0
Руу Р°уг 0
N О * Р° г гг 0
\ 0 0 0 с2Роо
= | РУХ Руу Руг и S. (37.3)
)
Очевидно, что это выражение полностью определяет компоненты тензора в
данной точке, а следовательно, и во всех системах координат, так как из
общего соотношения (19.8) можно получить следующее правило преобразования
для T"v:
гг*рv дхдх граУ /Я7
т (37'4)
Это выражение задает компоненты тензора 7^v в любой нужной нам системе
координат (х\ х2, х3, х4), если известны все компоненты тензора в
собственных координатах (формула
(37.3)).
Легко убедиться в полезности введенного нами 4-тензора. Перейдем от
первоначальных координат (4, х2, Хо, 4) > в которых рассматриваемый
элемент вещества покоится в данной точке, к системе координат, где этот
элемент вещества движется параллельно оси х со скоростью и. Для этого в
лоренцевых правилах преобразования (20.3) положим скорость V равной -и. В
результате получим формулы
Хп UXri!С "9 "9 4 4- "4/ С
0 °' х2 = х2о, х3 = х3о, х4 - -,0 г °-. (37.5)
•'V ------------- - . л - ли? *v------ л у л ____
________________________
У1 - и2/са у\ - и*/с3
Затем с помощью формулы (20.4) найдем величины всех неисчезающих
производных в уравнении (37.4):
дх1 дх* 1
<54 дх* Y1 - и2/с2 ' дх1 дх* и/с
дх4 дх\ Y1 - и2 /с2
*0 ил0
дх3
(37.6)
а4 дх1
1.
Подставляя выражения (37.6) в уравнение (37.4) и учитывая, что Т"р' задан
таблицей (37.3), получаем компоненты
84
ГЛ. III. СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ И МЕХАНИКА
тензора Тв виде
уЦ.'У _______
0 1 2 Рхх + Роо" рр нху Р°хг с2Роо + Р°хх и
1 - и2/с2 у 1 - и2/с2 у 1 - и2/с2 1 - и2/с2 с
Р1х "0 п0 Р°ху и
Y 1 - M2/c'J Руу Руг У 1 - и2/с2 с
Ргх о0 D° P°Xz и
Y1 - и2/с2 Ргу Pzz у 1 - и2/с2 с
с2роо + Р°ХХ" и Рху и Р°хг и С2Роо +Р°х"2/С
1 -- И2С2 с у 1 - и2/с2 с У 1 - И2/С2 с 1 - и2/с2
(37.7)
Сравнивая теперь эти величины с величинами, определенными формулами
(36.3) - (36.5) предыдущего параграфа, видим, что рассматриваемый тензор
можно записать в виде простой симметричной таблицы:
Рхх Рху Рхг Cgx Рух Руу Руг cgy Ргх Ргу Ргг Cg2 ¦Мх Cgy Cgz C',0 ,
7>v _
(37.8)
Отсюда следует, что компоненты этого тензора имеют один и тот же
