Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
интегрирования
м. п *о + я(х0 - М) - Na
Ci-
Р д
(т)
Подставляя эти значения в выражение (1.44), найдем
"-nt
х0 cos pat
Р д
- М cos at - е
cos Ppt -
Р д
N ( sin at - е nt W sin Рп
sin ppt^j -|-l/V)] in ppt^j .
(У)
Если взять начальные условия в виде х0 = х0 - 0, то неустановившаяся
часть общего перемещения системы
"-nt t _____, , Mn+Na
Ху, = - е
М cos pjjt ¦
Рр
¦ sin
Ppt) ¦
(ф)
Выражая эту неустановившуюся часть общего решения в форме, содержащей
фазовый угол, получим
"-nt с
Рр
cos (pAt - ф),
где
78
с = V(Мрл)2 + (Мп + Na)2 ; ф = arctg (Мп -)- Ма)/(Мра).
М
Си)
(ч)
ЗАДАЧИ
1.9.1. В середине пролета свободно опертой балки установлен
электродвигатель весом W = 9,Ы03 Н (см. задачи 1.6.3 и 1.6.4 в п.
1.6).[Изгибная жесткость балки такова, что статический прогиб в середине
пролета составляет 6СТ = 2,54 X X 10-3 м, а величина вязкого
демпфирования обеспечивает уменьшение амплитуды свободных колебаний до
половины ее первоначального значения за десять циклов колебаний. Частота
вращения ротора электродвигателя равна 600 мин-1. При этой частоте
вращения из-за неотбалансированности ротора возникает центробежная сила Q
= 2,27-103 Н. Пренебрегая влиянием распределенной массы балки, определить
амплитуду установившихся вынужденных колебаний.
Ответ: А = 0,02 м.
1.9.2. Установка с вращающимися деталями, имеющая вес W = 7,26-104 Н,
смонтирована в середине пролета двух параллельных свободно опертых
двутавровых балок с длиной / = 3,66 м и моментом инерции поперечного
сечения / = 2,67 X X 10-5м4. Ротор установки, вращающийся с частотой 300
мин-1, имеет неуравновешенный вес 181,6 Н, находящийся на расстоянии
2,54-10-1 м от оси вращения. Какова будет амплитуда установившихся
вынужденных колебаний, если эквивалентное вязкое демпфирование для
рассматриваемой системы составляет 10 % критического демпфирования?)
Ответ: А = 1,12-10-3 м.
1.9.3. С помощью кривых (см. рис. 1.33) составить уравнение
геометрического места точек их пиков для коэффициентов демпфирования.
Ответ: ршах = l/\Al ~ со4/р4.
1.9.4. Для системы с демпфированием, подверженной действию возмущающей
силы вида Q sin со/, записать выражение, характеризующее установившееся
поведение системы в форме, содержащей фазовый угол.
Q / (|)2 п2 \
Ответ: дс = -|3 cos (со/- 0); 0 = arctg (-2па>~) '
1.9.5. В предположении, что ускорение опоры изменяется по гармоническому
закону хоп= a cos со/, получить выражение, характеризующее установившееся
поведение системы с демпфированием в форме, содержащей фазовый угол.
Ответ: х = -jr- Р cos (со/ - ср - 0); ср = arctg •
1.9.6. Для системы с демпфированием, в которой опора смещается по закону
хоп = d sin со/, записать выражение, характеризующее установившееся
поведение системы в форме, содержащей фазовый угол.
Ответ: х* = 0 cos (со/ - 6); 0 = arctg (-^Г^Г )
•
1.9.7. Записать выражение, характеризующее установившееся поведение (в
форме, содержащей фазовый угол) системы с демпфированием, если опора
имеет ускорение xon = a sin со/.
- Р cos (со/ - 0); 0 = arctg
Ответ: х*
к
1.9.8. Для системы с докритическим демпфированием получить выражение,
характеризующее неустановившееся движение при действии возмущающей силы Q
sin со/. Решение представить в форме, аналогичной форме выражения (ф) в
примере 3.
/., Ма> + Nti . \
yN cos рд/ ----------------------!---------------------sin рд/ j
Ответ:
Ря
1.10. ЭКВИВАЛЕНТНОЕ ВЯЗКОЕ ДЕМПФИРОВАНИЕ
Как уже отмечалось в начале п. 1.8, различные виды демпфирования могут
быть заменены некоторым эквивалентным вязким демпфированием *, что в
результате приводит к линейному'дифференциаль-
* Jacobsen L. S. Steady forced vibrations as influenced by damping. -
Trans. ASME, 1930, v. 52, N. 1, pp. 169-181.
79
ному уравнению для гармонического движения. Наиболее важное влияние
демпфирования в задаче о вынужденных колебаниях проявляется при
резонансе либо вблизи резонанса. Поэтому рассмотрим
работу, совершаемую возмущающей силой в течение одного цикла при
установившемся поведении системы, которая рассматривалась в предыдущем
параграфе. В этом случае работа, совершаемая силой Q cos at за один цикл:
т
?/q = J Q (cos at) xdt. (a)
о
Скорость x можно получить, продифференцировав выражение (1.45) по
времени:
х = -А со sin (at - 0). (б)
Подставляя это выражение в соотношение (а) и используя формулы
тригонометрии, найдем
т
Uq = - QAco | (cos at) (sin at cos 0 - cos at sin 0) dt. о
В результате * интегрирования получим
Uq = nQ/l sin 0. (в)
Аналогично определяем рассеиваемую за один цикл работу демпфирующей силы
сх:
т
Uc=^cxxdt. (г)
о
Подставляя выражение (б) в соотношение (г), найдем
т
Uс = с А2a2 J sin2 (at - 0) dt, о
что после интегрирования дает
Uc = ясА2 а. (д)
Таким образом вносимая энергия Uq увеличивается в зависимости от
амплитуды А по линейному закону, тогда как рассеиваемая энергия Uc
возрастает пропорционально квадрату амплитуды. Они будут равны только
в точке пересечения кривых функций для обоих
