Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
друга на одинаковом временном интервале тд/2. Поскольку касательные,
проходящие в этих точках, не являются горизонтальными, точки касания не
совпадают с точками максимума смещения от положения равновесия. Если
коэффициент демпфирования мал, различием в положении этих точек можно
пренебречь. Однако во всех случаях временной интер-
68
вал между двумя соседними крайними смещениями равен половине периода
тд/2. Для проверки этого утверждения продифференцируем выражение (1.36)
один раз по времени, в результате получим скорость тела при колебаниях
х = -Ae~ntpn sin (р^ - ад) - Ane~nt cos (pat - aa).
Приравнивая это выражение к нулю, найдем
(Prf ад) - - •
Ря
Таким образом, точки максимумов смещения, где скорости равны нулю,
располагаются на одинаковом временном интервале t = = л/рд = Тд/2.
Скорость демпфирования колебаний зависит от коэффициента демпфирования
tilp, при этом, как видно из рис. 1.30, отношение двух соседних амплитуд
= Ае П(' = опхд = е6
*m u+i) Ае~п Тд^
Величина 6 = пхд называется логарифмическим декрементом
затухания и определяется по следующей формуле:
с 1 ^"М? 2ЯЛ 2ЛД I , о-7\
о = In-- = тД =--------------"=;------. (1-37)
*М<(+1> д Ря Р
Формулу (1.37) можно использовать для экспериментального определения
параметра демпфирования п. Для этого необходимо только определить из
эксперимента отношение двух соседних амплитуд колебаний. Однако большая
точность будет достигнута в том случае, если использовать отношение двух
амплитуд, отделенных / циклами. В этом случае формула (к) принимает вид
•Гмг - Л, (л)
% (t+j)
а логарифмический декремент определяется выражением
6 = 4-In . (м)
/ -*m (i+j)
В приведенном выше обсуждении уравнения (1.30) предполагалось, что п < р.
Если же ti > р, корни (г) будут действительными и отрицательными.
Подставляя их значения в выражение (в), получим два решения уравнения
(1.33), тогда общее решение примет вид
x = C1erit + Ctf*t. (1.38)
В этом случае решение не является периодическим и не описывает
колебательного движения. Вязкое сопротивление так велико, что когда тело
смещается от положения равновесия, оно не совершает колебательных
движений, а постепенно движется обратно в положение равновесия. В
подобном случае система называется передемпфи-рованной, а ее движение
апериодическим.
69
Постоянные, входящие в решение (1.38), можно определить, подставив
значения х = ха и х = х0 при t = 0 в само решение и в его первую
производную: Сх + С2 = х0; r1C1 + r2C2 = х0, откуда находим
Q *0 Г2ХЪ . Q Г 1*0 *0 /jA
г 1 Г2 2 ~" Л! - Л2
В результате решение (1.38) принимает вид
Х= *oz^r°x°-ertt Л- rix°-zin ,er2t' (1.39)
r% - Г 2 rx - r2
Общий вид кривой, описывающей решение (1.39), зависит от величин п, х0 и
х0.
Между случаями недостаточного демпфирования и передемпфи-рования
находится специальный случай и = р, когда степень демпфирования такова,
что движение системы впервые начинает терять свой колебательный характер.
Используя обозначения (б), для этого случая находим
" г " г " I f~W , ,
скр = 2я - = 2р- = 2 у -, (о)
где через скр обозначен критический коэффициент вязкого демпфирования.
Для случая критического демпфирования, когда п = р, из выражения (г)
следует, что гх = г2 = -р и рд = 0. Тогда как решения (1.35) и (1.36)
будут относиться к частному случаю кратных корней характеристического
уравнения и примут вид
х = Схе-р'+ C2te~p'. (1.40)
Подставляя в решение (1.40) и его первую производную заданные начальные
условия, найдем
Сх - Xg', С2 - Хд "Ь ПХд. (п)
Тогда общее решение примет вид
x = e~p'[x0-{-(x0-l-nxo)t]. (1.41)
На рис. 1.31 представлены кривые, описывающие зависимость перемещения от
времени в соответствии с выражением (1.41) при фиксированном значении х0
и нескольких значениях х0. Для двух верхних кривых 1 и 2 начальная
скорость была положительной; для кривой 3 - равной нулю, а для кривых 4 и
5 - отрицательной.
В дальнейших обсуждениях будем всегда считать величину п положительной,
т. е. будем предполагать, что демпфирование представляет собой силу
сопротивления. Тогда при ее действии будет происходить рассеивание
энергии, амплитуда колебаний будет постепенно уменьшаться, а движение -
затухать. Однако имеются случаи, когда при движении в систему привносится
энергия, в результате чего с течением времени происходит увеличение
амплитуды колебаний. В подобных случаях иногда используют термин
отрицательное демпфирование. Из выражения (1.34) видно, что если п -
отрицательная величина, то множитель e~nt увеличивается с тече-
70
Рис. 1.31
нием времени, вследствие чего постепенно увеличиваются и амплитуды
колебаний. Случай положительной величины п (когда колебания затухают)
относится к устойчивому движению, тогда как случай отрицательной величины
п - к неустойчивому движению.
Пример 1. Тело, совершающее колебания при наличии вязкого демпфирования,
делает 10 полных колебаний в секунду и через 100 циклов амплитуда его
колебаний уменьшается на 10%. Определить логарифмический декремент,
