Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
области и его уже нельзя не учитывать, если требуется получить имеющие
практическое значение результаты.
Рассмотрим теперь соотношения между фазовыми углами для случаев
установившихся колебаний и действия возмущающей силой, вызывающей эти
колебания. Это соотношение характеризуется фазовым углом 0 в выражении
(1.46), величина которого задается формулой (1.48). Так как возмущающая
сила изменяется в соответствии с функцией cos at, а вынужденные колебания
происходят согласно cos (at - 0), то можно сказать, что реакция отстает
от функции возмущающей силы на угол 0. Таким образом, когда сила Q (см.
рис. 1.32) направлена вниз, подвешенная масса, на которую она действует,
еще не достигла своего самого низкого положения; это наступает только
через 0/ю, когда сила Q будет иметь направление, составляющее угол 0 с
вертикалью. Из формулы (1.48) видно, что величина угла 0, как и
коэффициента р, зависит как от скорости затухания, так и от отношения
частот. Кривые на рис. 1.34 показывают изменение фазового угла 0 в
зависимости от отношения частот alp для различных значений коэффициента
демпфирования. При отсутствии демпфирования вынужденные колебания в
точности совпа-
76
дают по фазе (0 = 0) с колебаниями возмущающей силы для всех значений
сolp < 1 и в то же время они различаются по фазе точно на половину цикла
(0 = л) при со/р > 1. При этом условии, как видно, фазовый угол при
резонансе (со = р) является неопределенным.
При демпфировании можно видеть непрерывное изменение фазового угла 0 с
увеличением отношения со/р. Кроме того, независимо от величины
коэффициента демпфирования при резонансе имеем 0 = я/2. Таким образом,
при резонансе вынужденные колебания отстают от возмущающей силы на
четверть цикла. На рис. 1.32, например, сила Q направлена вниз, когда
колеблющаяся масса проходит через свое среднее положение. Когда же масса
движется к самому низкому положению, сила Q изменяет свое направление на
угол я/2 и действует теперь уже в горизонтальном направлении, слева
направо.
Для значений со/p, достаточно удаленных в ту или иную сторону от
резонанса, малый коэффициент демпфирования, как уже отмечалось, оказывает
лишь второстепенное значение на величину фазового угла. Иначе говоря, при
отношении частот, значительно меньшем единицы, фазовый угол 0 практически
равен нулю, тогда как при отношении, значительно большем единицы, этот
угол практически равен я. Таким образом, влияние демпфирования на фазовый
угол можно также не принимать во внимание всегда, за исключением
областей, лежащих вблизи точки резонанса или около нее.
Пример 1. Пусть полный вес неотбалансированного электродвигателя (см.
рис. 1.32) W = 4,54-103 Н, неуравновешенная масса т1 = 1,79- 10г Н-м2/с,
а центр ее тяжести лежит на расстоянии гг = 2,54-10-2 м от оси
электродвигателя. Частота вращения ротора электродвигателя равна 600 мин-
1, перемещение пружины при статическом нагружении 6СХ = 2,54-10"4 м,
коэффициент вязкого демпфирования с= 1,79-10* Н-с/м. Определить амплитуду
установившихся вынужденных колебаний при указанной частоте вращения, а
также при резонансе, когда т = р.
Решение:
(В = 2я _ 20я; (в2 = 400я2;
Р* =-Г-= 38600- я = -Цг = -Ц-ДГ'ш'э81 = 19'3;
ост 2W 2-4,54* 103
9 = JL(b2= о,386-400я2.
Используя выражение (г), получаем
А = - q =--- 0,386-400л2 ------------------ = j jg.jQ-s
м>
V(р2 - (в2)2 + 4л2(В2 V(38 600 - 400я2)2 + 4- 19,32-400я2
При резонансе имеем (В = р = J^38 600, тогда с помощью (и) получаем
. Q (В V38 600 " nQ ....
Лтах ~ Д7 ~ Т - ТтаТо*" ~4/ м-
Пример 2. Для системы с демпфированием рассмотреть случай изменяющегося
по гармоническому закону перемещения основания (рис. 1.35), а именно:
хоап= d cos ш/, (к)
получить выражение, описывающее установившееся поведение системы при
заданной функции возмущающей силы.
77
¦лл/wvwwwvw-
-и-
Г 1 п
, ,и,,,,
X0m = tf CCS L)t
Решение. Уравнение движения в рассматриваемом случае имеет вид
тх = - с (х--/г (х - л:(н.п),
(л)
где
У.77777777
-da sin at.
voch 0111 (м)
Подставив выражения (к) и (м) в уравнение (л), после
преобразования по-
лучим
тх сх kx -- d (k cos at - ca sin at).
(h)
Вводя в правую часть этого уравнения фазовый угол, можно записать
тх + сх -)- kx = Bd cos (at - ер), (о)
где
Рис. 1.35
B = Vk2 + с2 а2; (п)
Ф = arctg (-calk). (р)
Как видно, в данном случае вместо силы Q cos at имеем возмущающую силу в
виде функции Bd cos (at - ф); при этом решение можно получить, заменив в
(1.46) Q на произведение Bd и введя фазовый угол ф, что в результате дает
х = ¦ ^ р cos (at - ф-6). (с)
Пример 3. Неустановившееся движение системы при докритическом
демпфировании может быть исследовано с учетом начальных условий в
выражении (1.44). Найти закон движения указанной системы при свободных
колебаниях, если на систему действует возмущающая сила вида Q cos at.
Решение. Используя начальные условия х = д'0 и х= х0 при 1 - 0' из
выражения (1.44) и его первой производной, определяем постоянные
