Колебания в инженерном деле - Тимошенко С.П.
Скачать (прямая ссылка):
будет иметь вид
dx = e-n<-t~t">-^-s'mp!,(t - t'). (г)
Р д
Поскольку такой же эффект вызывается каждым приращением импульса q dt' на
интервале от f = 0 до t' = t, то в результате непрерывного действия
возмущающей силы q получим следующее выражение для полного перемещения:
t
х = - f ellt'qsin pA(t - t') dt'. (1.62)
P д J о
Подобные представления в математике называются интегралом Дюамеля.
Выражение (1.62) представляет полное перемещение при действии возмущающей
силы q на интервале времени от 0 до t. Оно включает как установившиеся,
так неустановившиеся формы и особенно удобно при исследовании поведения
системы при колебаниях, когда действует возмущающая сила произвольного
вида. Если функцию Q = / (О йе представляется возможным выразить
аналитически, интеграл (1.62) можно всегда вычислить приближенно с
помощью соответствующего метода графического или численного
интегрирования. Для того чтобы учесть влияние начального смещения х0 и
начальной скорости х0 при t = 0, необходимо только к выражению
94
5,
a)
6)
Рис. ,1.43
(1.62) прибавить решение (1.35) из п. 1.8, учитывающее указанные
начальные условия. Тогда общее решение примет вид
t
*о±_Я?о_ sin _|_ J_ j ent,q sin pд __
p-nt
X0 COS pt + ¦
dt.
(1.63)
Если пренебречь влиянием демпфирования, получаем п = 0 и ря = р, в
результате чего выражение (1.62) принимает вид
t
х = -'j qs'mp (t - t') dt'. (1-64)
о
В том случае, когда учитывается влияние начального смещения
х0 и начальной скорости х0 при i = 0, выражение (1.63) без учета
демпфирования становится таким:
t
х = х0 cos pt + -у- sin pt + q sin p (t - t') dt'. (1.65)
В качестве примера применения выражения (1.64) предположим, что к массе
на рис. 1.42, а внезапно приложена постоянная сила Qx (рис. 1.43, а).
Подобный характер динамического нагружения описывается так называемой
ступенчатой функцией. В этом случае имеем qL = Qx/m = const. Тогда
выражение (1.64) примет вид
t
J sinp(/ - t')dt'.
Этот интеграл. легко вычисляется, что дает
x = -~cosp0:
Qi
(д)
(1.66)
k -(1 - cos pt).
Из приведенного решения следует, что при внезапном приложении постоянной
по величине силы возникают колебания с амплитудой Qi./?, наложенные на
статическое смещение той же величины QJk (рис. 1.43, б). Таким образом,
максимальное перемещение, возни-
95
6)
Рис. 1.44
кающее при внезапном приложении силы, в 2 раза больше перемещения,
обусловленного статическим приложением силы.
В рассмотренном выше случае постоянная сила Q действует в течение
бесконечно большого промежутка времени. Если же она действует только на
промежутке времени tlt имеет место прямоугольный импульс (рис. 1.44, а).
В течение времени, когда сила не равна нулю, поведение системы в точности
совпадает с тем, что дается выражением (1.66). Поведение же в следующее
за tx время можно определить с помощью интеграла Дюамеля, записанного для
каждого из двух интервалов времени: от 0 до t1 и от t1 до t. Только
интегрирование по первому интервалу дает отличный от нуля результат,
поскольку во втором интервале времени функция возмущающей силы равна
нулю. Суммируя сказанное, решение для рассматриваемого случая можно
представить в следующем виде:
Qi
(1 - cospt), т. e. (1.66);
при t Эг ti
Qi
[cos p(t - /2) - cos p t]
(1.67)
Аналогичные результаты могут быть получены, если импульс прямоугольной
формы (см. рис. 1.44, а) рассматривать как сумму двух ступенчатых
функций, что показано на рис. 1.44, б. Первая
96
ступенчатая функция принимает значение при t = О, вторая - Qx при t = tx.
Третий метод получения того же результата, что содержится в выражении
(1.67), заключается в определении перемещения и скорости системы в момент
времени tx с помощью выражения (1.66). В результате получим
**, =-у-О-cos/>*,); (е)
xtl=-^-sinpti. (ж)
Если эти величины рассматривать как начальные перемещение
и скорость, заданные в момент времени tx, результирующее движение
системы при свободных колебаниях можно представить в виде
х{
х = хг cos p(t - ti) -\-j- sin p (t - ti). (з)
Подставляя значения (e) и (ж) в выражение (з), после несложных
тригонометрических преобразований снова придем к полученному выше решению
(1.67).
Амплитуду свободных колебаний, возникших после воздействия импульса
прямоугольной формы, можно определить по формуле
A = V xl + {xtjpf. (и)
Подставляя в формулу (и) значения (е) и (ж), после упрощений найдем
А = -j~y2(1 ~ cos Рк) =-x-sln ("Г") ="T"sin ("Г")- М
Из последней записи выражения (к) видно, что амплитуда свободных
колебаний зависит от отношения tjт, где т - период свободных колебаний
системы. Взяв в качестве длительности импульса прямоугольной формы время
tx = т/2, получим значение амплитуды А = = 2Q1lk. Перемещения системы во
времени при действии импульса показаны на рис. 1.44, в. В этом случае
сила Q действует в направлении перемещения от 0 до А и совершает в
системе положительную по знаку работу. Когда сила начинает действовать в
крайнем положении, система, в которой отсутствует демпфирование,
